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1、13数学建模竞赛围墙用砖优化模型利云龙 10级数控技术一班 18863348121 数学建模协会组织部 选修数学建模课胥丽楠 10级市场营销一班 18863347998数学建模协会组织部 选修数学建模课戚龙飞 10级数控技术二班 18863347616数学建模协会组织部 选修数学建模课日 照 职 业 技 术 学 院围墙所围面积最大模型摘要通过优化知识对围墙的建法进行讨论，在对围墙的强度进行分析后建立了最贴合实际的数学围墙用砖优化模型。一： 由于题目中没有告诉砖的厚度，通过标准砖的长、宽、高之比为4：2：1确定了砖的宽度运用为0.1m，为了更贴合实际考虑了门口的存在，将其宽度设置为了2 m.，利
2、用AutoCAD作出了相关的方案图。二：利用了层次分析法对围墙的强度进行了分析，同时利用Matlab进行编程，最终确定了二分之一砖墙的围墙建法。并利用了AutoCAD画出了围墙的拐角处连接，以及整个围墙的俯视图。三：通过对题目的分析列出了相关的方程，对方程进行求导，求出了面积的最大值。同时又求出了不考虑门口的情况时围墙面积的最大值，将这两种情况进行了对比。最后记对模型进行了评价与推广。关键词：二分之一砖墙 数学优化 层次分析法 AutoCAD Matlab1 问题重述在长江中有一个风景秀丽的小岛，某集团承包下该小岛的开发权以后想在岛上建一个度假村。开发的过程中，按照惯例，要先用砖围城一个矩形围
3、墙，以便存放建筑材料。岛上的建筑拆迁时，恰好留下了一批旧砖，可以利用这批旧砖来建围墙，旧砖的长度是0.2m，厚度是0.05m，砖的总数量是12000块。在建围墙时，要求围墙的高度不能低于2m，围墙围住的面积越大越好。试问该如何来建围墙？2 问题分析本题要求，在小岛上建造一个矩形围墙，以便存放建筑材料。砖的总数量是12000块，长度是0.2m，厚度是0.05m。要求围墙的高度不能低于2m，建立围墙围住的面积最大的一般数学模型与建造的方案。首先，我们需对砖墙的铺法进行讨论，来确定一种铺墙方法来用来建造本题中的矩形围墙。其次，我们对各种墙体在一定的用砖量的前提下分别进行讨论，以此用来确定最好的铺墙方
4、法。最后，列出面积方程，并进行相关求解。3模型的假设1、 假设所建围墙处的地面较平整，无太大的沟壑之处，以及其他外界因素对围墙的影响。2、 假设所有的砖都是等大的、规则的、完整的，无破裂现象。3、 建设所建的围墙是标准的矩形，无弯曲偏离现象。4、 假设砖与砖之间的空隙省略不计。4符号说明符号说明围墙的长围墙的宽砖的长度砖的宽度砖的厚度砖的总数门口的宽度门口所用砖的总数围墙的高度围墙的周长围墙所围成的面积5模型的建立与求解1.模型的规定（1）由于题目中并没有告诉砖块的宽度，因此按照标准砖块来看，即砖的长、宽、高之比为4:2:1，也就是砖块的宽度按0.1m计算。如图5-1图5-1（2）由于围墙的高
5、度不能低于2m，为了节约材料则按2m计算。（3）由于所建围墙是用于存放建筑材料，因此必须考虑门口的存在，由于建筑材料相对较重且比较庞大，因此门口的宽度不能小于2m,为了节省材料，门口的宽度按2m计算。（4）由于所建的围墙是矩形，则必须考虑拐角的建法，为了节约材料，则矩形围墙的各边都采用如图5-2所示的建法。由于矩形的各边都采用了如图所示的建法，因此首尾相接就可以将矩形连接起来图5-2（5）由于存在门口，则需考虑用砖情况，如图5-3为门口用砖的示意图图5-32.层次分析法确定铺墙方法由于砌墙的方式有很多，四分之一砖墙、二分之一砖墙一砖墙等。如图5-4所示。. 四分之一砖墙 二分之一砖墙一砖墙图5
6、-4（1） 当采用四分之一砖墙建时，则围墙的周长为：（2） 当采用二分之一砖墙建时，则围墙的周长为：（3）当采用一砖墙建时，则围墙的周长为：由以上可以看出当围墙的宽度越宽时，围墙的周长约短。围成的面积越小，然而为了获取最大的面积则围墙的宽就应该最小。因此围墙的的宽度越窄越好。在此基础上我们用层次分析法进行考虑。（1）根据问题的分析，将决策问题分解为3个层次，最上层为目标层，即选择墙体铺法；最下层为方案层，有、3个供选择建法，中间为准则层，有墙体牢固程度、墙体用砖量两个准则。各层次之间用直线连接如图5-5所示：图5-5（2）准则层对目标层的比较矩阵则 故第二层元素排序总权重为（3）方案层对准则层
7、的比较矩阵 则第三层的成对比较矩阵的权向量、最大特征根和一致性检验指标，结果如下表所示。 （4）组合权重四分之一砖墙对目标层的组合权重为：二分之一砖墙对目标层的组合权重为；一砖墙对目标层的组合权重为；因此选择二分之一砖墙为铺设方法。3.建立方程并求解由已知可列出方乘组为：由以上公式可得：把带入上式得：对上式进行求导得：令，得把代入原式得：当不考虑门口的存在时可列出方程组为：整理以上公式可得：把代入上式可得：对上式进行求导得：令，得：把代入原式可得综合上述得：情况1：考虑墙门，则情况2：不考虑墙门，则6模型的评价6.1模型的优点1、本文从实际问题出发，首先分析了建围墙的不同方法，建立了所围面积最
8、大的数学模型，然后利用层次分析法分析了不同围墙的强度，最终制定了比较贴合实际的围墙的建法。2、模型依据了矩形中正方形的面积最大的理论，从而确定了围墙的形状为正方形，通过求出正方形的周长最终确定了正方形的边长，最后求出了围墙所围成的面积。3通过画的图可以使围墙的的形状与建法更明显，利用数学软件Matlab求解，使结果精确合理。6.2模型的缺点1、假设中不考虑地形、砖与砖之间的空隙以及其他因素对围墙的影响，而实际问题中所建的围墙必然会受到地形，砖与砖之间的空隙的影响。所以模型的求解有一定的误差。2、假设中提到所建的围墙是标准的矩形，无弯曲偏离现象。从而给施工人员带来了较大的技术要求，这也与实际生活
9、有较大的差距。7模型推广本文是利用优化知识建立模型，来解决生活中的优化问题。生活中有许多方面都用到了最优化问题，比如建一个建筑物时在保证强度合格的情况下怎样用料最省，以及易拉罐的设计生活中的优化问题。参考文献1、 http:/ 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型，第三版.北京：高等教育出版社M，1999.25（3）3、 安莉 高等数学 高等教育出版社 2003附录1、MATLAB程序1 O=1 1/3;3 1; v,d=eig(O)v = 0.3162 -0.3162 0.9487 0.9487d = 2 0 0 0 b=sum(O); w=O/bw = 0.2500 0.75002、MATLAB
10、程序2 C1=1 1/2 4;2 1 3;1/4 1/3 1; v,d=eig(C1)v = 0.5590 -0.2795 + 0.4841i -0.2795 - 0.4841i 0.8062 0.8062 0.8062 0.1938 -0.0969 - 0.1678i -0.0969 + 0.1678id = 3.0078 0 0 0 -0.0539 + 0.5764i 0 0 0 -0.0539 - 0.5764i C1=v(:,1); b=sum(C1); w=C1/bw = 0.3586 0.5171 0.12433、MATLAB程序3 C2=1 2 3;1/2 1 2;1/3 1/2 1; v,d=eig(C2)v = 0.8468 -0.8468 -0.8468 0.4660 0.2330 - 0.4036i 0.2330 + 0.4036i 0.2565 0.1282 + 0.2221i 0.1282 - 0.2221id = 3.0092 0 0 0 -0.0046 + 0.1663i 0 0 0 -0.0046 - 0.1663i C2=v(:,1); b=sum(C2); w=C2/bw = 0.5396 0.2970 0.1634
