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1、12 Monte Carlo 模拟,自第8章到11章，我们讨论的都是数学模型问题。其基本思路是：对过程的物理或化学的实质进行分析，简化，建立数学模型，然后通过实验求取模型中的参数，完成数学模型的建立。在实际上，这种方法并不能解决所有问题。有些数学模型过于复杂，求解有相当困难，简化若不适当，又会失真。有时，直接进行实验也有一定困难。这一套数学模型的思路和方法就遇到了很大的困难。由此发展出了一套新的计算机模拟和实验方法，就是Monte Carlo模拟法。,第二次世界大战期间，美国Los Alamos实验室论证出了制造原子弹的可能性，但要制出实际可用的核武器，逐项解决大量复杂的理论和技术问题，如中子
2、轨道和辐射轨道等等问题。描述这些过程需要相当复杂的微分、积分的耦合方程组。科学家们采用建立基础的物理模型，用随机抽样法在计算机上进行模拟的方法。这种方法与数学模拟法不同，不从物理模型建立数学模型（太复杂），而是在计算机上进行试验，用随机抽样法解决问题。Monte Carlo是一个赌城，赌博的特点就是随机性，由此对本法进行命名。 1949年Metropolis和Wlam发表了第一篇论文，学术界以此作为Monte Carlo法诞生的标志。Monte Carlo法是在计算机发展起来后才出现的。根据基础的物理模型在计算机上改变条件、观测结果，作出结论。因此也称为“计算机实验”。 科学上传统的分为“理论
3、科学”和“实验科学”，有人认为应将“计算机模拟”列为第三分支，它不是纯理论的，又不是纯实验的。后来，Monte arlo模拟方法逐渐被推广到化学、化工研究中，本章介绍其基本思路和工作方法。,12.1 Monte Carlo方法基础,用Monte Carlo方法模拟某过程，需要产生各种概率分布的随机变量。最简单、最基本，也是最重要的随机变量是在 0，1 区间上均匀分布的随机变量。产生均匀分布随机数的方法，可以采用物理方法和数学方法。用数学方法产生的随机数一般均采用某种确定性的数学表达式来实现，因此并非真正 “随机”，故通常称为“伪随机数 ”。“伪随机数”在使用前应检验一下随机数的质量好坏。目前一
4、般采用乘同余法产生随机数。 为了对Monte Car1o方法的基本特征有一个最为初步的了解，下面给出一个用Monte Car1o 方法求解定积分的例子，从这个例子可直观地体会到用Monte Carlo方法求解确定性问题的基本过程。,Monte Carlo方法的基本特征,(1)由于Monte Carlo 是通过大量简单的重复抽样来实现的，因此，Monte Carlo方法及程序十分简单。 (2) Monte Carlo 方法收敛与一般数值方法相比是比较慢的。因此，Monte Carlo方法最适合于用来解数值精度要求不太高的问题。 (3) Monte Carlo 方法的误差主要取决于样本的容量N而与
5、样本中元素所在的空间无关，即Monte Carlo 方法的收敛速度与问题的维数无关，因而更适合于求解多维问题。这一点只要将上述问题设想成多维空间的积分就容易理解。 (4) Monte Carlo 方法对问题求解的过程取决于所构造的概率模型，因而对各种问题的适应性很强。,12.2 乘同余法,产生随机数在Monte Carlo法中是很重要的。下面介绍一下产生随机数的一般方法乘同余法。 产生均匀分布随机数的方法，可以采用物理方法和数学方法。最简单的产生随机数的物理方法是掷硬币游戏，若把硬币的正、反面分别计为0和1，就可以得到由这两个数字所构成的随机数系列。其中0和1出现的概论均为1/2。 用数学方法产生随机数一般均采用某种确定性的数字表达式来实现。此其并非真正的“随机”，通常称其为“伪随机数”。用数学产生伪随机数的优点是：因为它借助于迭代公式，所以特别适合于计算机。目前，多数的计算机均附带有“随机数发生器”。然而，用数学迭代方法产生随机数一般均存在周期现象。随着迭代过程的不同，其效果也各不相同。下面，简要地介绍一下目前广泛采用的乘同余法。,
