实用高等数学课件3导数的应用

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1、目 录,第三章 导数的应用,目 录,第三章 导数的应用,一、罗尔定理,3.1 微分中值定理,一条闭区间a,b上的连续曲线，在相应的开区间（a,b）内光滑，并且区间端点的函数值相等，那么，会出现什么样的现象呢？,结论：如左图， 至少有一条水平 切线。 这就是我们要 学习的罗尔定理。,3.1微分中值定理,一、罗尔定理,罗尔（Rolle 1652-1719）法国数学家.年轻时因家境贫穷,仅受过初等教育，是靠自学精通了代数和Diophantus分析理论.罗尔定理是罗尔在17世纪，在微积分发明之前以几何的形式提出来的., 在开区间 内可导；, 在闭区间 上连续；, ；,3.1微分中值定理,（2）在开区间

2、 内可导；,（1）在闭区间 上连续；,二、拉格朗日中值定理,3.1微分中值定理,则 在区间 上是一个常数，即,3.1微分中值定理,函数 在 上连续， 在 内可导，故满足拉格朗日中值定理的条件，则,因此所求 的 值为：,即,于是得,解,3.1微分中值定理,由于,由推论可知,取 ，则,即有,又当 时， ，所以,例 2,证明,证明,3.2 洛必达法则,分析: 当 时，分子、分母的极限均为0， 为 型。那么， 型的极限如何求呢？,这就是我们接下来要学习的洛必达法则.,3.2 洛必达法则,则,定理1说明：如果 符合定理的条件，则可通过对分子、分母分别求导后再求极限来确定 .,3.2 洛必达法则,利用洛必

3、达法则求极限,这是 型未定式，根据洛必达法则，得,验证了我们之前学过的重要极限公式,例 1,解,3.2 洛必达法则,求极限,这是 型未定式，根据洛必达法则，得,例2,解,3.2 洛必达法则,求极限,这是 型未定式，根据洛必达法则，得,例3,这是 型未定式，根据洛必达法则，得,解,解,3.2 洛必达法则,对于以上情况，定理1(洛必达法则）同样成立.,3.2 洛必达法则,这是 型未定式，根据洛必达法则，得,解,【说明】由例6可知，只要满足洛必达法则的条件，洛必达法则可以累次使用下去.,3.2 洛必达法则,求极限,例6,解,说 明,答案：1. 8ln2 2. ln2 3.,3.2 洛必达法则,课堂实

4、训,这是 型未定式，根据洛必达法则，得,3.2 洛必达法则,求极限,例7,解,这是 型未定式，根据洛必达法则，得,3.2 洛必达法则,例8,求,解,即出现循环，洛必达法则使用失效.,【或解】,【另解】,3.2 洛必达法则,求极限,例 9,解,未定式还有 ， ， ， ， 等类型。对于这几种未定式，可先化成 型或 型未定式，然后用洛必达法则求解.,3.2 洛必达法则,所求极限为 型未定式，将其转化为 型计算.,3.2 洛必达法则,解,3.2 洛必达法则,求极限,例11,这是 型未定式，作通分变形 ，将其转化为 型计算.,解,答案：1. 0 2. 3.1/e,求极限 _; 求极限 _; 求极限 _.

5、,3.2 洛必达法则,课堂实训,综合 利用洛必达法则求未定式极限的一般步骤归纳如下：,3.2 洛必达法则,小结,【结论】 将 型未定式转化为 型未定式时，往往采用通分. 其它类型未定式一般采用对数的恒等变形， 即 ，先将它化为 型未定式，然后再化成 型.,3.2 洛必达法则,3.3 函数的单调性与极值,复习函数 在区间 内单调性的定义？,设函数 在 内有定义，如果对 当 时，有 ，则称函数 在 上单调增加；当 时 ， ，则称函数 在 上单调减少.,一、函数的单调性,3.3 函数的单调性与极值,（1）观察右图， 函数 单调增加，, 问题引入,（2）观察右图， 函数 单调减少，,反过来也是成立的.

6、,3.3 函数的单调性与极值,（2） 如果在 内 ，则函数 在 内单调减少.,（1）如果在 内 ，则函数 在 内单调增加;,设函数 在 内可导：,定理 1,定理1中的开区间换成 ， ， 等其它各种区间，定理1的结论仍成立.,3.3 函数的单调性与极值,一、函数的单调性,讨论函数 的单调性。,因为,例 1,解,3.3 函数的单调性与极值,讨论函数 的单调性。,函数的定义域为 求导得,例 2,由定理1知，函数的单调增区间是 ， 函数的单调减区间是 .,解,3.3 函数的单调性与极值,一、函数的单调性,使 的点 称为函数 的驻点.,定义,3.3 函数的单调性与极值,求函数 的单调区间。,用它们将定义

7、域分成三个区间：,列表讨论,例 3,解,3.3 函数的单调性与极值,所以函数 的单调增区间是 、 , 单调减区间是 .,3.3 函数的单调性与极值,证明：当 时， .,即 .,例 4,证明,3.3 函数的单调性与极值,讨论函数 的单调区间. 讨论函数 的单调性.,答案：1. 函数在 和 上单调增加， 在 上单调减少。 2. 函数的单调增区间是 、 . 单调减区间是 .,课堂实训,3.3 函数的单调性与极值,二、函数的极值,函数的极大值与极小值统称为极值， 极大值点与极小值点统称为极值点.,定义1,3.3 函数的单调性与极值,二、函数的极值,从图中我们可以看到点 、 是极大值点， 、 是极大值；

8、 、 、 是极小值点， 、 、 是极小值.,3.3 函数的单调性与极值,二、函数的极值,3.3 函数的单调性与极值,二、函数的极值,如果函数 在点 可导，且在点 处取 得极值，则必有 .,定理2说明可导函数的极值点一定是函数 的驻点，但驻点不一定是函数的极值点 . 那 么哪些驻点才是极值点呢？除了驻点以外还 有哪些点可能成为极值点呢？,?,定理2,（极值存在必要条件）,3.3 函数的单调性与极值,设函数 在 的某个领域内可导，且 ., 如果当 时， ；当 时， ，则函数 在 处取得极大值。, 如果当 时， ；当 时， ，则函数 在 处取得极小值 .,3.3 函数的单调性与极值,求函数的极值的步

9、骤：,（1）求函数 的定义域。,（2）求 ，解方程 ，求出驻点，找出使 不存在的点。,（3）用上述诸点划分定义区间为若干子区间；列表考 察 在各个子区间内的符号，判 定出函数 在在各子区 间上的单调性，得到极值点。,（4）求出各极值点处的函数值，就得到函数 的全部 极值。,3.3 函数的单调性与极值,求函数 的极值.,因为函数的定义域为,又,列表得,例 7,解,所以函数 在 处取得极大值，极大值为 ；函数 在 处取得极小值 。,3.3 函数的单调性与极值,设函数 在 处具有二阶导数，且 ， 则, 当 时，函数 在 处取得极大值.,当 时，需进一步判断，此时一般用第 一充分条件来求函数的极值.,

10、 当 时，函数 在 处取得极小值.,定理3,（极值的第二充分条件）,3.3 函数的单调性与极值,，,由于,解,3.3 函数的单调性与最值,三、函数的最值,最值定理，连续函数 在闭区间 上一 定存在最大值和最小值，且最大值和最小值只可 能在区间 内的极值点和端点处得到,函数的极值点与最值 的可能点是哪些点?,思考,3.3 函数的单调性与最值,哪些点可能是函数的最值点?,函数 的驻点，函数 的不可导点,区间的端点，函数的驻点和不可导点（即使 不存在的点）,函数 的最值的所有可能点是三类点：,思考,函数的极值点与最值的可能点是哪些点?,哪些点可能是函数的极值点?,3.3 函数的单调性与最值,函数 的

11、最值的求法,3计算这些点的函数值，并比较大小，作出判断：其中最大者是最大值，最小者是最小值.,2找出函数最值的可能点（三类点）: 驻点，不可导点及端点.,1求出函数的导数,3.3 函数的单调性与最值,因为,比较以上各函数值，得,，,函数的最大值为,最小值为,解,3.3 函数的单调性与最值,计算,显然 与 是 的不可导点.,经计算，得,比较各值，得函数 的最大值为 ，最小值为 .,解,令 ，得 .,3.3 函数的单调性与最值,1 . 求函数 在 上 的最大值和最小值。 2.求函数 在 上的最大值和 最小值。,答案：1. 最大值 ，最小值 ；,2. 最大值 ，最小值,课堂实训,答案,3.3 函数的

12、单调性与最值,函数的最值在生活中的应用,【例9】有一块宽 的长方形铁片，将它的两个边缘向上折起成一开口水槽，使其横截面为一矩形，矩形高为 ，问 取何值时，水槽的横截面最大?,【解】 设水槽横截面积为 ，则 是 的函数且,令 ，得唯一驻点 .,由于此实际问题存在最大值，故知该驻点就是最大值点， 所以 是函数 的最大值即当两边缘各折起 时， 水槽的截面积最大,3.3 函数的单调性与最值,【例10】 某商店每月可销售某种商品2.4万件，每件商品每月的库存费为4.8元，商品分批进货，每次订购费为3600元 如果销售是均匀的(即商品库存量为每批订购量的一半)问 每批订购多少件商品，可使每月的订购费与库存

13、费之和最少? 这笔费用是多少?,求导得,令 ，得唯一驻点 或 (舍去).,故每批订购商品6000件时，所求费用最少，最少费用是,3.3 函数的单调性与最值,【例11】 铁路线上AB段的距离为100千米，工厂C距离A处20千米，AC垂直于AB为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路已知铁路上每吨千米货运的费用与公路上每吨千米货运的运费之比为3：5为了使货物从供应站B运到 工厂C，每吨货物的总运费最省，问D应选在何处？,3.3 函数的单调性与最值,令 ，得 ，解得唯一驻点 ， （舍去）,故知 是函数的最小值点，因此D点应选在距离A点 15千米处，可使每吨货物总运费最省,3.4 函数图形的描绘,一、曲线的凹凸及拐点,曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题.下左图中，曲线段AB和CD都是上升的，可是曲线段AB呈凸形上升，曲线段CD呈凹形上升；下右图中曲线段AB和CD都是下降的，可是曲线段AB呈凸形下降，曲线段CD呈凹形下降。,若曲线段位于其每一点切线的上方（或下方），则称曲 线段是凹的（或凸的），此区间称为凹区间（或凸区间） 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,3.4 函数图形的描绘,设函数 在区间 上存在二阶导数 （1）若在 上