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1、目 录,第二章 导数与微分,目 录,第二章 导数与微分,2.1 导数的概念,一、导数的定义,?,设作变速直线运动的物体的运动规律为 ，问：在任一时刻 的速度应当怎样定义,，,变速运动：平均速度 =, 变速直线运动的速度,当物体在 时有改变量 时，路程改变量 为,平均速度为,（时间越短，近似程度越高）,故得（定义物体在时刻 时的速度）, 变速直线运动的速度,2.1 导数的概念,若割线 绕点 旋转而趋向极限位置 ,则称直线 为曲线C在点 处的切线.,设曲线L的方程 ，曲线上点为 ，如何 求切线的斜率？,2.1 导数的概念, 平面曲线的切线斜率,播放,首页,上页,下页,2.1 导数的概念, 平面曲线
2、的切线斜率,割线的极限位置切线位置,割线的极限位置切线位置,2.1 导数的概念,割线的极限位置切线位置,2.1 导数的概念,割线的极限位置切线位置,2.1 导数的概念,割线的极限位置切线位置,2.1 导数的概念,割线的极限位置切线位置,2.1 导数的概念,割线的极限位置切线位置,2.1 导数的概念,割线的极限位置即为切线求切线的斜率？,2. 平面曲线的切线斜率,2.1 导数的概念,，或 ，或,即,若 不存在，则称函数 在点 处不可导,2.1 导数的概念,(2),(3)所以,2.1 导数的概念,并记作 或,即函数在任意点的导数为,函数 在点 处的导数 ，就是 导函数 在点 处的函数值，即,2.1
3、 导数的概念,据导数的定义，求函数的导数的一般步骤：,2.1 导数的概念,求常数函数 的导数。,(1)求函数的改变量,(2)计算比值,(3)求极限,即,2.1 导数的概念,例3,解,求函数 的导数.,同理,2.1 导数的概念,例4,解,导数的几何意义：函数 在点 处的导数 等于函数所表示的曲线C 在相应点处 的切线斜率。 即,2.1 导数的概念,二、导数的几何意义,即,切线方程为 ，,由于 ，故切线的斜率为,解,反之不成立。,三、函数可导与连续的关系,2.1 导数的概念,因为函数 在点 处可导，即 存在，于是有,这表明函数 在点 处连续。,2.1 导数的概念,三、函数可导与连续的关系,什么叫导
4、数？它可以用哪一个极限式子说明？ 根据导数的定义求函数的导数有哪几步？ 导函数与函数在某点导数之间有什么关系？ *可导与连续的关系是什么？,?,2.2 导数的运算,一、导数的四则运算法则,（ 为任意常数),( 为实数）,特别：,特别：,2.2 导数的运算,导数的基本公式,导数的基本公式,2.2 导数的运算,在下列空格处填上适当的函数使等式成立：,0,0,2.2 导数的运算,课堂实训,设函数 与 在 点处可导， 则它们的和（差）函数 在 处也可导， 且有,2.2 导数的运算,定理1(1), 导数的四则运算法则,推论,2.2 导数的运算,例2,解,解,设函数 与 在 点处可导， 则它们的积函数 在
5、 处也可导， 且,2.2 导数的运算,定理1(2),推论,2.2 导数的运算,例3,例4,解,解,设函数 与 在 点处可导， 且 ，则它们的商函数 在 处也 可导，且,2.2 导数的运算,定理1(3),简记,2.2 导数的运算,例6,例7,解,解,即,2.2 导数的运算,例8,解,即,四则运算的求导法则除了直接应用公式外，有时 需要将表达式适当变形后再应用公式.,2.2 导数的运算,例9,注意,解,2.2 导数的运算,例10,例11,解,解,求下列函数的导数,2.2 导数的运算,新课引入,这个结论具有一般性,2.2 导数的运算,引例1,已知,但,解,2.2 导数的运算,定理2,复合函数求导法则
6、,因此,求 的导数,2.2 导数的运算,复合函数求导法则,例如,解,1.复合函数的求导法则实际上是复合函数关于自变 量的导数,等于函数关于中间变量的导数乘以中间变量关 于自变量的导数;,复合函数求导法则,2.2 导数的运算,说明,于是得,分解成：,与,2.2 导数的运算,例5,法则应用,解,分解成：,与,于是得,2.2 导数的运算,例,法则应用,解,于是得,、,分解成：,2.2 导数的运算,例6,法则应用,法则应用,2.2 导数的运算,例7,解,于是得,若计算熟练后，可不设中间变量，直接求复合函数的导数，如例6的另一种解法。以后常用下面方法。,2.2 导数的运算,例,注意,解,2.2 导数的运
7、算,例8,解,2.2 导数的运算,课堂实训,求下列函数的导数：,6）,7）,8）,2.2 导数的运算,课堂实训,2.2 导数的运算,三、高阶导数,，或 ，或,2.2 导数的运算,2.2 导数的运算,例10,解,所以,因为,2.2 导数的运算,三、高阶导数,解,由此推得, ,2.2 导数的运算,解,求下列函数的二阶导数：,2.2 导数的运算,实课堂训,2.3 特殊函数的导数,一、隐函数的导数,这样的函数称作显函数.,把因变量 写成自变量 的显示表达式,2.3 特殊函数的导数,隐函数的求法则,对方程,两端同时关于 求导，得,于是得,2.3 特殊函数的导数,即得,解,另解,对方程,两端同时关于 求导
8、得,于是得,2.3 特殊函数的导数,因此切线的斜率为,所以所求切线方程为,即,解,对方程,两端同时关于,求导，得,于是得,因为,，所以,2.3 特殊函数的导数,将 代原方程得,解,2.3 特殊函数的导数,课堂实训,于是得,先对 两端同时取自然对数，得,2.3 特殊函数的导数,求函数 的导数,。,例 4,两端同时对 求导得,二、取对数求导法,即,解,两端同时对 求导得，,2.3 特殊函数的导数,于是得,2.3 特殊函数的导数,课堂实训,2.3 特殊函数的导数,三、参数方程确定的函数导数,由参数方程,确定的函数,设参数方程 确定了函数 ，求 。,例 6,由于 所以有,解,2.4 微分及其应用,.,
9、（当 很小时）,既容易计算又是较好的近似值,正方形金属薄片受热后面积的改变量如何计算,?,一、微分的概念,记作 即,函数在任意点 处的微分为,2.4 微分及其应用,规定(或可证明）：,因此,2.4 微分及其应用,反之，如果函数 在点 处可导，则函数 在点 处可微.,所以,2.4 微分及其应用,例 1,解,2.4 微分及其应用,例 2,例 3,解,解,微分的几何意义,2.4 微分及其应用,当 是曲线上的纵坐标改变量时,就是对应切线上的纵坐标的改变量., 微分基本公式,（ 为任意常数),( 为实数）,特别：,特别：,2.4 微分及其应用,2.4 微分及其应用, 微分基本公式,思考,2.4 微分及其
10、应用,二、微分的运算法则,复合函数的微分法则,一阶微分形式的不变性,2.4 微分及其应用,设函数 的导数为,【结论】无论 是自变更还是中间变量，函数 的微分形式总是,（1）若 是自变量时，,（一）求下列函数的微分 ：,2.4 微分及其应用,课堂实训,（二）求下列函数在指定点处的微分：,1）,2）,2.4 微分及其应用,课堂实训,y dy . (1),2.4 微分及其应用,三、微分在近似计算中的应用,解 球的体积公式是,当 r 由 4 m 增加到 4 + 0.1 m ，,v 的增加为 v 时，,v dv .,而 dv = v dr = 4r2 dr，,即,v 4r2 dr .,此处 dr = 0
11、.1，r = 4 . 代入上式得体积近似增加了,v 4 3.14 42 0.1 20 (m3) .,例 6 一个充好气的气球，半径为 4 m.,升空后，因外部气压降低气球半径增大了10 cm，,问气球的体积近似增加多少？,y f (x) x,2.4 微分及其应用,例 6,解,计算 cos 3012 的近似值.,选取函数 f (x) = cos x，并且,f (x) = - sin x，,代入公式,f (x) f (x0) + f (x0)(x - x0) ，,得,根据公式 f (x) f (x0) + f (x0)(x -x0) ，,f (x) f (x0) + f (x0)(x - x0),
12、2.4 微分及其应用,解,例 7,2.5 应用与实践,一、边际经济函数模型,若自变量 的改变量较小时，则有(边际经济函数模型),2.5 应用与实践,边际经济函数模型,这说明 表示，在点 处，当 产生一个单位的改变时， 近似改变 个单位,当 时， 表示，当 在 处改变一个单位时， 增加 个单位；,当 时， 表示，当 在 处改变一个单位时， 减少 个单位,2.5 应用与实践,一、边际经济函数模型,边际成本 定义为在产量为 时产量再增加一个单位所增加的成本.,边际收入 定义为在销售量为 时再销售一个单位产品所增加的收入.,边际利润 定义为在销售量为 时再销售一个单位产品所增加的利润.,2.5 应用与
13、实践,例 1,解,（1）因为 ，所以,（2）因为 ，所以,此结论的经济意义是：在产量为100公斤 时，再多生产 1公斤产品，总成本要增加 9.5元元,2.5 应用与实践,所以边际收入函数为,例 2,解,由 , 得 ,故总收入函数为,当 时， （元）它表示当销售量（即需求量）为20件时，再多销售一件产品，总收入将增加12元,2.5 应用与实践,边际收入函数为,当 时， （元）它表示当销售量为50件时，再多销售一件产品，总收入没有变化，即这一件产品没有产生收入,当 时， （元）它表示当销售量为70件时，再多销售一件产品，总收入将减少8元,2.5 应用与实践,二、需求弹性模型,设函数 ，当自变量 在点 有绝对改变量 时，函数 有相应的绝对改变量 ，将比值 称为自变量的相对改变量，将 称为函数的相对改变量,也称为函数 的弹性函数,函数 在 处的弹性 可解释为：当自变量 变化 时，函数 近似的变化 ,2.5 应用与实践,为商品的需求价格弹性，简称需求弹性(或称需求弹性模型),2.5 应用与实践,解,因为 ，所以，需求弹性为,当 时， 它表明在 元的价格水平下，价格上涨 ，其需求量将减少 即需求量的变动幅度小于价格的变动幅度（即 ）,这时称需求为低弹性,2.5 应用与实践,已知需求弹性为,当 时 ，
