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1、第2章 导数与微分,导数和微分是微积分学的主要组成部分,是解决有关速度和优化问题的有力工具。,坚定的信心，能使平凡的人们做出惊人的事业。,第2.1节 导数的基本概念,第2.2节 导数的运算,第2.3节 微分,第2章 导数与微分,第2.4节 Mathematica环境下导数 与微分的计算,注意,1.导数的实质就是函数的改变量比自变量的改变量当自变量的改变量趋于零时的极限值.(两个改变量必须相互对应),2.按导数的定义求函数 在 处的导数一般分为三步:,(1)求函数的改变量,(2)求函数的平均变化率,(3)取极限,求得导数,例2.1.1 求函数 ( 为常数)的导数,解: 利用导数定义求: 因为,所
2、以,即,例2.1.2 求函数 的导数 及,解: 因为,于是,所以,即,同理可求得,例2.1.3 设函数 ,求 .,解:,于是,即知,例2.1.4 设函数 ,求 .,解:,可导区间: 如果函数 在开区间 内每一点都可导,则称 在 内可导。如果 在 内可导,且在 处右导数存在(称 在 点右可导),在 处左导数存在(称 在 点左可导),则称 在闭区间 上可导,并称相应区间为函数 的可导区间.,第2.2节 导数的运算,函数四则运算的求导法则 定理2.2.1 设函数 和 在点 处可导,则函数 , 以及 在 处也可导，且,（1）,证明: 由导数定义可知,同理可证,(2),证明: 由导数定义可知,由于,和,
3、在点,处可导，,在点,处连续，故有,所以,证明:,由于,和,在点,处可导，且,所以,例2.2.1 设 ,求 .,解:,所以,因为,例2.2.2 设 ,求 .,解:,例2.2.3 设 ,求 .,解:,因为,由除法的求导法则，有:,类似地，可以求得下面的公式,例2.2.4 设 , 求 .,解:,令,，则,于是根据链式法则有,综合起来，有,例2.2.5 设 为实数,求 .,解:,因为,，令,那么,，由链式法则，有,例2.2.6 设 ,求 .,解:,例2.2.7,解:,例2.2.8 求圆 上点 处的切线方程。,解:,即,所以切线的方程为,代入 ， ，得,例2.2.9 设 求 .,解:,即,所以,例2.
4、2.10 求 的导数 .,所以,例2.2.11 求函数 的导数 .,解:,类似地可得：,例2.2.12 用反函数求导法则求函数 ( )的导数 .,特别地，有,例2.2.13 设 ,求 .,解:,利用隐函数求导法，有,所以,例2.2.14 设 ,求 .,解:,所以,两边取对数，有,例2.2.15 设 ,求 .,解:,两边取对数，有,两边同时求导数，有,所以,例2.2.16 设 ，求 。,解：,例2.2.17 设 ，求,解：,类似地有,微分的定义,设有函数 ，若存在常数 ，使得对于自变量 的改变 量，函数的改变量 可以表示为 则称 在点 可微，并称 为 在点 处的微分，记为 或 ，即,或,.,证明
5、:,必要性: 设 在 处可微， ，由定义有,例2.3.1 设 , , ,求 , 及 .,解:,微分的运算,利用基本公式计算微分:,基本公式,利用运算法则计算微分,运算法则,利用微分形式不变性计算微分,微分形式 不变性,近似计算公式,（1）,（2）,微分公式,运算法则,设函数 都可微， 是常数，则,微分形式不变性,若函数 和 均为可微函数，由微分定义和复合,例2.3.2求函数 的微分 .,解: 方法1,由于,所以,例2.3.3 求函数 的微分 .,解: 这是个复合函数，按复合函数求导法则，有,所以,例2.3.4 设 由 确定，求 .,解:,因为,所以,例2.3.5 求下列各式的近似值,解:,（1）,（2）,故,（2）令,于是,第2.4节 Mathematica环境下导数与微分的计算,1. 求函数的导数 求函数导数的表达式,2. 求函数的微分,
