《浙江省2019高考数学精准提分练解答题通关练2立体几何》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江省2019高考数学精准提分练解答题通关练2立体几何（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.立体几何立体几何 1如图，已知正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，点M在线段ED上， ADCD，ABCD，ABADCD1. 1 2 (1)当M为线段ED的中点时，求证：AM平面BEC； (2)求直线DE与平面BEC所成角的正弦值 (1)证明 取EC的中点N，连接MN，BN，如图 在EDC中，M，N分别为ED，EC的中点， 所以MNCD，且MNCD. 1 2 又ABCD，ABCD， 1 2 所以MNAB，且MNAB. 由此可知四边形ABNM为平行四边形，所以BNAM， 又BN平面BEC，且AM平面BEC， 所以AM平面BEC. (2)解 在正方形ADEF中，EDAD， 因为平面
2、ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD， 所以ED平面ABCD，而BC平面ABCD， 所以EDBC. 在直角梯形ABCD中，ABAD1，CD2， 易得BC， 2 连接BD，在BCD中，BDBC，CD2， 2 所以BD2BC2CD2， 所以BCBD，又BDEDD，BD，ED平面BDE， 所以BC平面BDE，而BC平面BCE， 所以平面BDE平面BCE. 过点D作DHEB，交EB于点H，则DH平面BCE，所以DEH为直线DE与平面BEC所成 的角 在 RtBDE中，BE， BD2DE23 SBDEBDDEBEDH， 1 2 1 2 所以DH， BDDE BE 2 1 3 6 3 所以
3、 sinDEH. DH DE 6 3 所以直线DE与平面BEC所成角的正弦值为. 6 3 2如图，在所有棱长均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是棱AA1，CC1，AB 的中点 (1)证明：BE平面CDF； (2)求直线EF与平面CDF所成角的正弦值 (1)证明 方法一 连接AE交CD于G，连接GF，如图 1. 因为D，E分别是棱AA1，CC1的中点，所以G是AE的中点 在ABE中，GF是中位线，所以GFBE. 又GF平面CDF，BE平面CDF. 所以BE平面CDF. 图 1 图 2 方法二 连接A1B，A1E，如图 2. 在A1AB中，DF是中位线，所以DFA1B. 又A1B
4、平面CDF，DF平面CDF， 所以A1B平面CDF. 因为D，E分别是棱AA1，CC1的中点，所以A1DCE，且A1DCE，所以四边形A1ECD是平 行四边形， 故A1ECD. 又A1E平面CDF，CD平面CDF， 所以A1E平面CDF. 又A1BA1EA1，所以平面A1BE平面CDF，又BE平面A1BE，所以BE平面CDF. (2)解 方法一 如图 2，连接AB1，因为四边形AA1B1B是正方形，所以A1BAB1. 又DFA1B，所以AB1DF. 因为ABC是正三角形，F是AB的中点， 所以CFAB. 又平面AA1B1B平面ABC，平面AA1B1B平面ABCAB，CF平面ABC，所以CF平面
5、 AA1B1B. 而AB1平面AA1B1B，所以CFAB1，又DFCFF，且DF，CF平面CDF， 所以AB1平面CDF. 取BB1的中点H，连接HF，HE， 则HFAB1，HF平面CDF. 所以EFH是直线EF与平面CDF所成角的余角 设直三棱柱ABCA1B1C1的棱长为 2，则在EFH中，FH，EHEF2. 2 所以 cosEFH. 2 2 2 2 4 故直线EF与平面CDF所成角的正弦值为. 2 4 方法二 以点F为坐标原点，BF，CF所在直线分别为x轴，y轴建立如图 3 所示的空间直 角坐标系 设直三棱柱ABCA1B1C1的棱长为 2，则F(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0， ，
6、0)，D(1,0,1)， 3 E(0， ，1) 3 图 3 所以(0， ，0)，(1,0,1) FC 3 FD 设平面CDF的法向量为n n(x，y，z)，则Error!所以Error! 则n n(1,0,1)为平面CDF的一个法向量， 又(0， ，1) FE 3 所以 cos，n n. FE FE n n |FE |n n| 1 2 2 2 4 故直线EF与平面CDF所成角的正弦值为. 2 4 3如图，在四面体ABCD中，O是BD的中点，CACBCDBD2，ABAD，连接AO. 2 (1)求证：AO平面BCD； (2)求直线AB与平面ACD所成角的余弦值 (1)证明 如图，连接OC，因为AB
7、AD，O是线段BD的中点，所以AOBD，同理可得 COBD. 又在ABD中，ABAD，BD2，所以AO1， 2 在BCD中，CBCDBD2，所以CO，又AC2， 3 所以AO2OC2AC2，所以AOC90，即AOOC. 又OCBDO，OC，BD平面BCD， 所以AO平面BCD. (2)解 方法一 如图，过点B作BM平面ACD于点M，连接AM，则BAM为直线AB与平 面ACD所成的角， 由VABCDVBACD，可得 AOSBCD BMSACD， 1 3 1 3 因为AO1，SBCD 2， 1 233 SACD ， 1 22 22( 2 2)2 7 2 所以BM. 2 21 7 在 RtAMB中，
8、AM. AB2BM2 14 7 所以 cosBAM. AM AB 7 7 所以直线AB与平面ACD所成角的余弦值为. 7 7 方法二 以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0， ，0)，A(0,0,1) 3 所以(1,0，1)，(0， ，1)， AD AC 3 设平面ACD的法向量为n n(x，y，z)， 则Error! 所以Error! 令y1，得n n(，1，)是平面ACD的一个法向量 33 又(1,0，1)， AB 所以 cosn n， ， AB n nAB |n n|AB | 42 7
9、故直线AB与平面ACD所成角的余弦值为. 1( 42 7 )2 7 7 4在如图所示的直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点 (1)求证：DE平面ACC1A1； (2)若ABBC，ABBC，ACB160，求直线BC与平面AB1C所成角的正切值 (1)证明 取AB中点F，连接DF，EF. 在ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点， 所以DFAC，又DF平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，所以DF平面ACC1A1. 在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为A1B1，AB的中点， 所以EFAA1，又EF平面ACC1A1， AA1平面ACC1A1，所以EF平面ACC1A1
10、. 因为DFEFF，所以平面DEF平面ACC1A1. 因为DE平面DEF，故DE平面ACC1A1. (2)解 因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱， 所以BCBB1， 又ABBC，ABBB1B，所以BC平面ABB1A1. 因为ABBC，BB1BB1， 所以ABB1CBB1，AB1CB1， 又ACB160，所以AB1C为正三角形， 所以AB1ACAB，所以BB1AB. AB2BB2 12 取AB1的中点O，连接BO，CO， 所以AB1BO，AB1CO， 所以AB1平面BCO， 所以平面AB1C平面BCO，点B在平面AB1C上的射影在CO上， 所以BCO即为直线BC与平面AB1C所成的角 在 R
11、tBCO中，BOABBC， 2 2 2 2 所以 tanBCO. BO BC 2 2 5如图，在三棱锥DABC中，DADBDC，点D在底面ABC上的射影为点 E，ABBC，DFAB于点F. (1)求证：平面ABD平面DEF； (2)若ADDC，AC4，BAC60，求直线BE与平面DAB所成角的正弦值 (1)证明 如图，由题意知DE平面ABC， 所以ABDE，又ABDF，DEDFD，DE，DF平面DEF， 所以AB平面DEF， 又AB平面ABD，所以平面ABD平面DEF. (2)解 方法一 由DADBDC知EAEBEC， 所以E是ABC的外心 又ABBC，所以E为AC的中点 过点E作EHDF于点
12、H， 则由(1)知EH平面DAB， 所以EBH即为BE与平面DAB所成的角 由AC4，BAC60得BEDE2，EF， 3 所以DF，EH， 7 2 3 7 所以 sinEBH. EH BE 21 7 方法二 如图建立空间直角坐标系，则A(0，2,0)，D(0,0,2)，B(，1,0)， 3 所以(0，2，2)，(，1，2)，(，1,0)， DA DB 3 EB 3 设平面DAB的法向量为n n(x，y，z)， 由Error!得Error! 取n n. ( 3 3 ，1，1) 设与n n的夹角为， EB 所以 cos， EB n n |EB |n n| 2 2 7 3 21 7 所以BE与平面D
13、AB所成角的正弦值为. 21 7 6如图，在矩形ABCD中，已知AB2，AD4，点E，F分别在AD，BC上，且 AE1，BF3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上 (1)求证：CDBE； (2)求线段BH的长度； (3)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值 (1)证明 BH平面CDEF，CD平面CDEF， BHCD， 又CDDE，BHDEH，BH，DE平面DBE， CD平面DBE，又BE平面DBE，CDBE. 方法一 (2)解 设BHh，EHk，过F作FG垂直ED于点G，连接FH，BE. 线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得 Error! 即
14、Error!解得Error! 线段BH的长度为 2. (3)解 延长BA交EF于点M， AEBFMAMB13， 点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的 ， 1 3 点A到平面EFCD的距离为 ，而AF， 2 313 设AF与平面EFCD所成角为， 直线AF与平面EFCD所成角的正弦值为 sin. 2 3 AF 2 13 39 方法二 (2)解 如图，过点E作ERDC，过点E作ES平面EFCD，分别以ER，ED，ES为 x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设点B(0，y，z)(y0，z0)， 由于F(2,2,0)，BE，BF3， 5 Error!解得Error!于是B(0,1,2)， 线段BH的长度为 2. (3)解 从而(2，1,2)， FB 故， EA 1 3FB ( 2 3， 1 3， 2 3) ， FA FE EA ( 8 3， 7 3， 2 3) 设平面EFCD的一个法向量为n n(0,0,1)，直线AF与平面EFCD所成角的大小为， 则 sin. |FA n n| |FA |n n| 2 13 39
