《2020版数学新优化浙江大一轮试题：第九章 解析几何 考点规范练49 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学新优化浙江大一轮试题：第九章 解析几何 考点规范练49 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点规范练考点规范练 49 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 考点规范练第考点规范练第 66 页页 基础巩固组基础巩固组 1.设 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点 P 的轨迹方程是( ) A.y2=2xB.(x-1)2+y2=4 C.y2=-2xD.(x-1)2+y2=2 答案 D 解析如图,设 P(x,y),圆心为 M(1,0),连接 MA, 则 MAPA,且|MA|=1, 又|PA|=1, |PM|=, |2+ |2= 2 即|PM|2=2. 点 P 的轨迹方程为(x-1)2+y2=2. 2.若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于
2、A,B 两点,则|AB|的最大值为( ) 2 4 A.2BCD .4 5 5 .4 10 5 .8 10 5 答案 C 解析设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 直线 l 的方程为 y=x+t, 由消去 y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0, 2 + 42 = 4, = + , ? 则 x1+x2=- t,x1x2= 8 5 4(2- 1) 5 . 于是|AB|=|x1-x2| 1 + 2 = 1 + 2 (1+ 2)2 - 4 12 =, 2 (- 8 5) 2 - 4 4(2- 1) 5 = 4 2 5 5 - 2 当 t=0 时,|AB|max= 4 10
3、5 . 3.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为,则 的值为( ) 3 2 ABCD . 3 2 .2 3 3 .9 3 2 .2 3 27 答案 A 解析设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 中点 M(x0,y0). 由题设 kOM= 0 0 = 3 2 . 由=- 2 1+ 2 1 = 1, 2 2+ 2 2 = 1, ? 得 ( 2+ 1 )( 2 - 1) ( 2+ 1 )( 2 - 1) . 又=-1,所以 2 - 1 2 - 1 2+ 1 2+ 1 = 20 20 = 3 2 = 3 2 . 4.若过
4、抛物线 y2=x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,且直线 l 的倾斜角,点 A 在 x 轴上方, 4 则|FA|的取值范围是( ) AB .(1 4 ,1 .(1 4, + ) CD .(1 2, + ) .(1 4 ,1 + 2 2 答案 D 解析记点 A 的横坐标是 x1,则有|AF|=x1+ 1 4 =+|AF|cos , ( 1 4 + |)+ 1 4 = 1 2 |AF|(1-cos )= ,|AF|= 1 2 1 2(1 - ). 由 9 8 解析(1)若 a=0,则 y=2x 与 y=x 为相交直线, 显然 y=2x 上存在两点到 y=x 的距离等于,符合题意;
5、 2 (2)若 a0,则 y=ax2-2x 与直线 y=x 相交, y=ax2-2x 在直线 y=x 上方的图象必有两点到直线 y=x 的距离等于,又直线 y=x 与 y=x-2 的 2 距离为, 2 抛物线 y=ax2-2x 与直线 y=x-2 不相交, 联立方程组消元得 ax2-3x+2=0, = 2 - 2, = - 2, ? =9-8a 9 8. (3)若 a 9 8. 能力提升组能力提升组 9.已知两定点 A(0,-2),B(0,2),点 P 在椭圆=1 上,且满足|-|=2,则为( ) 2 12 + 2 16 A.-12B.12C.-9D.9 答案 D 解析由|-|=2,可得点 P
6、(x,y)的轨迹是以两定点 A,B 为焦点的双曲线的上支,且 2a=2,c=2,b= 点 P 的轨迹方程为 y2- =1(y1). 3. 2 3 由解得=(x,y+2)(x,y-2)=x2+y2-4=9+4-4=9. 2 12 + 2 16 = 1, 2- 2 3 = 1, ? 2 = 9, 2 = 4, ? 10. 已知 A,B,C 是抛物线 y2=4x 上不同的三点,且 ABy 轴,ACB=90,点 C 在 AB 边上的射影为 D,则 |AD|BD|=( ) A.16B.8 C.4D.2 答案 A 解析设 A(4t2,4t),B(4t2,-4t),C(4m2,4m), 则=(4t2-4m2
7、,4t-4m),=(4t2-4m2,-4t-4m), 由条件=0,即 16(t2-m2)2-16(t2-m2)=0, t2-m20, t2-m2=1,在 RtABC 中,|AD|BD|=|CD|2=4(t2-m2)2=16,故选 A. 11.已知抛物线 C:y2=2px 与点 N(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 2 的直线与 C 交于 A,B 两点,若 NANB, 则 p=( ) A.-2B.2C.-4D.4 答案 D 解析由题意,设直线为 y=2,与 y2=2px 联立,消去 x 得 y2-py-p2=0,设 A,B,则 ( - 2) ( 2 1 2 , 1) ( 2 2 2 , 2)
8、y1+y2=p,y1y2=-p2,由 NANB 得+(y1-2)(y2-2)=0,所以(y1+y2)2-2y1y2+4-p2- ( 2 1 2 + 2)( 2 2 2 + 2) 4 42 + 1 2p+4=0,即- p2+p+8=0,解得 p=4 或 p=- (舍),故选 D. 3 4 8 3 12.已知 F 为抛物线 4y2=x 的焦点,点 A,B 都是抛物线上的点且位于 x 轴的两侧,若=15(O 为原 点),则ABO 和AFO 的面积之和的最小值为( ) ABCD .1 8 . 5 2 . 5 4 . 65 2 答案 D 解析设直线 AB 的方程为 x=ty+m,A(x1,y1),B(x
9、2,y2), 直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0), 联立可得 4y2-ty-m=0, 42 = , = + , ? 根据韦达定理有 y1y2=- , 4 =15, x1x2+y1y2=16,从而 16(y1y2)2+y1y2-15=0, 点 A,B 位于 x 轴的两侧, y1y2=-1,故 m=4. 不妨令点 A 在 x 轴上方,则 y10,又 F, ( 1 16 ,0 ) SABO+SAFO=4(y1-y2)+y1=y1+2, 1 2 1 2 1 16 65 32 2 1 651 32 2 1 = 65 2 当且仅当y1= ,即 y1=时,取“=”号, 65 32 2 1 8 65
10、 65 ABO 与AFO 面积之和的最小值是,故选 D. 65 2 13.(2017 课标高考)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C 交于 A,B 两点,直线 l2与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16B.14C.12D.10 答案 A 解析方法一:由题意,易知直线 l1,l2斜率不存在时,不合题意. 设直线 l1方程为 y=k1(x-1), 联立抛物线方程,得 2= 4, = 1( - 1), ? 消去 y,得x2-2x-4x+=0,所以 x1+x2= 2 1 2 1 2 1 22 1+ 4
11、 2 1 . 同理,直线 l2与抛物线的交点满足 x3+x4= 22 2+ 4 2 2 . 由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+82+8=16, 22 1+ 4 2 1 + 22 2+ 4 2 2 4 2 1 + 4 2 2 16 2 1 2 2 当且仅当 k1=-k2=1(或-1)时,取得等号. 方法二:如图所示, 由题意可得 F(1,0),设 AB 倾斜角为作 AK1垂直准线,AK2垂直 x 轴,结合图 (不妨令 ( 0, 2). 形,根据抛物线的定义,可得 | + | = |1|, | 1| = |, | = 2, ? 所以|AF|cos +2=|A
12、F|,即|AF|= 2 1 - . 同理可得|BF|=,所以|AB|= 2 1 + 4 1 - 2 = 4 2. 又 DE 与 AB 垂直,即 DE 的倾斜角为 +, 2 则|DE|=, 4 2( 2 + ) = 4 2 所以|AB|+|DE|=16,当 = 时取等号,即|AB|+|DE|最 4 2 + 4 2 = 4 22 = 4 1 4 22 = 16 22 4 小值为 16,故选 A. 14.(2018 浙江杭二中质检)已知椭圆 C: +y2=1(a1)的离心率为,F1,F2是 C 的两个焦点,过 F1的直 2 2 3 2 线 l 与 C 交于 A,B 两点,则|AF2|+|BF2|的最
13、大值等于 . 答案 7 解析因为椭圆 C 的离心率为,所以,解得 a=2. 3 2 2 - 1 = 3 2 由椭圆定义得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8, 即|AF2|+|BF2|=8-|AB|. 而由焦点弦性质知当 ABx 轴时,|AB|取最小值 2=1,因此|AF2|+|BF2|的最大值等于 8-1=7. 2 15.已知斜率为 的直线 l 与抛物线 y2=2px(p0)交于 x 轴上方的不同两点 A,B,记直线 OA,OB 的斜率 1 2 分别为 k1,k2,则 k1+k2的取值范围是 答案(2,+) 解析设直线方程为 y= x+b,即 x=2y-2b, 1 2 代入抛物线方程
14、y2=2px,可得 y2-4py+4pb=0, =16p2-16pb0,pb. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),得 y1+y2=4p,y1y2=4pb, k1+k2= 1 1 + 2 2 = 12+ 12 12 = 1 (2 2- 2) + (21- 2)2 (2 1- 2)(22- 2) =2.故答案为(2,+). 16 - 8 16 - 16 + 42 = 2 16.(2018 浙江 5 校联考)已知定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物线 y2=x 上移动,设 P 为线段 MN 的 中点,则点 P 到 y 轴距离的最小值为 . 答案 7 4 解析设 M(x1,y1),N(x2,y2),抛物线 y2=x 的焦点为 F,抛物线的准线为 x=- ,所求的距离 d= ( 1 4 ,0 ) 1 4 ,所以(两边之和大于第三边且 M,N,F | 1+ 2 2 |= 1+ 1 4
