《4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割同步练习含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割同步练习含答案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 4 课时 黄金分割 关键问答 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(ACBC)，当这三条线段之间存在什么关系时，可以 称线段 AB 被点 C 黄金分割？ 黄金比的值是多少？ 1.已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 ACBC，则下列等式中成立的是( ) AAC2BCAB BAC22ABBC CAB2ACBC DBC2ACAB 22017六盘水矩形的长与宽分别为 a，b，下列数据能构成黄金矩形的是( ) Aa4，b2 Ba4，b2 55 Ca2，b1 Da2，b1 55 3在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比已知这本书 的长为 20 cm，则
2、它的宽约为( ) A32.36 cm B13.6 cm C12.36 cm D7.64 cm 命题点 1 利用黄金分割的结论进行计算 热度：83% 4如图 4434，已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PAPB，若 S1表示以 PA 为边的正 方形的面积，S2表示长为 AB，宽为 PB 的矩形的面积，则( ) 图 4434 AS1S2 BS1S2 CS1S2 D无法确定 S1和 S2的大小 方法点拨 根据黄金分割的概念将线段比转化为面积比 5如图 4435，在ABCD 中，点 E 是 BC 边上的黄金分割点，且 BECE，AE 与 BD 相交 于点 F，那么 BFDF 的值为_ 图 4
3、435 解题突破 求 BFDF 可以转化为求 BEDA 吗？如果可以，根据黄金分割点的定义先求出 BEBC 的值. 6把一根长为 4 m 的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比，则这个矩形的 51 2 面积为_m2. 图 4436 72017台州模拟 如图 4436，连接正五边形 ABCDE 的各条对角线围成一个新的五边形 MNPQR.图中有很多顶角为 36的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形” ，黄金三角 形的底与腰之比为.若 AB，则 MN_ 51 2 51 2 方法点拨 黄金三角形是比较特殊的三角形，解决与黄金三角形有关的计算问题，往往需要借助黄金比 及相似三角形的对应
4、边成比例来完成 命题点 2 黄金分割在实际生活中的应用 热度：80% 82017乳山期中 某种乐器的弦 AB 长为 120 cm，点 A，B 固定在乐器面板上，弦 AB 上有一个 支撑点 C，且 C 是 AB 的黄金分割点(ACBC)，则 AC 的长为( ) A(12030)cm B(16060)cm 55 C(60120)cm D(6060)cm 55 9大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割” ，如图 4437，P 为 AB 的黄金分割点(APPB)，如果 AB 的长度为 10 cm，那么 PB 的长度为_ 图 4437 解题突破 先利用黄金分割的定义计算出 AP 的
5、长，然后通过 ABAP 即可得到 PB 的长 10人体下半身的长度与身高的比例越接近 0.618，越给人美感遗憾的是，即使芭蕾舞演员 也达不到如此的完美某女士身高 1.68 m，下半身长 1.02 m，她应该选择穿_(精确到 0.1 cm)的高跟鞋看起来更美 易错警示 注意身高包括高跟鞋的高度 命题点 3 有关黄金分割的证明 热度：75% 11.如图 4438，在ABC 中，ABAC，A36，CE 平分ACB 交 AB 于点 E. (1)求证：E 为线段 AB 的黄金分割点； (2)若 AB4，求 BC 的长 图 4438 知识链接 顶角为 36的等腰三角形被称为黄金三角形，底角的平分线与腰的
6、交点就是腰的黄金分割 点，并且被底角的平分线分成的两个三角形都是等腰三角形，其中的锐角三角形与原等腰三角形相 似 12宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形现将折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图 51 2 4439 所示)： 第一步：作一个正方形 ABCD； 第二步：分别取 AD，BC 的中点 M，N，连接 MN； 第三步：以点 N 为圆心，ND 长为半径画弧，交 BC 的延长线于点 E； 第四步：过点 E 作 EFAD，交 AD 的延长线于点 F. 请你根据以上作法，证明矩形 DCEF 为黄金矩形 图 4439 解题突破 对于没有出现具体数据的计算题或证明题，我们可以考虑设参数，如假设正方形的边长是
7、2a，接下来你知道该怎么做了吗？ 13三角形中，顶角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形如图 4437，在ABC 中， 已知 ABAC，A36. (1)在图中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，并连接 BD(保留作图痕迹，不写作法) (2)BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由 (3)设k，试求 k 的值 BC AC 图 4440 解题突破 (1)可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图； 10 (2)根据角度判断； (3)根据相似三角形的性质求解. 14如图 4441，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果，那么称点 C 为线段 AB 的 AC
8、AB BC AC 黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线” ，类似地给出 “黄金分割线”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1，S2，如果，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线 S1 S S2 S1 (1)研究小组猜想：在ABC 中，若点 D 为 AB 边上的黄金分割点(如图)，则直线 CD 是 ABC 的黄金分割线你认为对吗？为什么？ (2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？ (3)研究小组在进一步探究中发现：过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E，再过点 D 作直线 DFCE，交 AC 于点 F，连接 EF(如图
9、)，则直线 EF 也是ABC 的黄金分割线，请你说明理由； (4)如图，点 E 是ABCD 的边 AB 的黄金分割点，过点 E 作 EFAD，交 DC 于点 F，显然直 线 EF 是ABCD 的黄金分割线请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边的 黄金分割点 图 4441 解题突破 对于新定义问题，关键是理解新定义的概念，解决此题的关键是把黄金分割线与黄金分割点 联系起来，把面积与边长联系起来 详解详析详解详析 【关键问答】 当 AC2BCAB 时，线段 AB 被点 C 黄金分割 0.618. 51 2 1A 解析 根据线段黄金分割的定义，得 AC2BCAB. 2D 解析 宽
10、与长的比是的矩形叫做黄金矩形， ，当 a2，b1 51 2 b a 51 25 时满足题意故选 D. 3C 解析 方法 1：设这本书的宽为 x cm，则有，解得 x12.36(负值已舍去) 20 20x x 20 方法 2：书的宽约为 200.61812.36(cm) 4B 解析 根据黄金分割的概念，得，则1，即 S1S2.故选 B. AP AB PB AP S1 S2 AP2 ABPB 5. 解析 四边形 ABCD 是平行四边形， 51 2 BCAD，BCAD， BEFDAF， BEDABFDF. BCAD， BEBCBFDF. 点 E 是 BC 边上的黄金分割点， BEBC， 51 2 B
11、FDF. 51 2 6(4 8) 解析 设这个矩形的长为 x m，宽为 y m，则 xy2. 5 由题意，得 ， y x x xy 51 2 解得 x1，y3， 55 所以这个矩形的面积为(1)(3)(4 8)m2. 555 7.2 解析 设 MNx.由题意可知 DEAB. 5 51 2 EDMECD36，ENDEDN72，DEEN，同理 CDCM， EMx， 51 2 ECENCMMN1x. 5 DEMDEC，DEMCED， DE2EMEC， ()2(x)(1x)， 51 2 51 25 整理，得 x2 (1)x0， 3 25 （ 51）2 4 (1)2， x 3 4 （ 51）2 5 16
12、5 x2 或 x (1)(不合题意，舍去)， 5 1 25 MN2. 5 8D 解析 根据黄金分割点的概念，得 ACAB(6060)cm.故选 D. 51 25 9(155 )cm 解析 P 为 AB 的黄金分割点(APPB)， 5 APAB10(5 5)cm， 51 2 51 25 PBABAP10(5 5)(155 )cm. 55 104.8 cm 解析 设她应选择高跟鞋的高度是 x cm，则 0.618， 102x 168x 解得 x4.8. 经检验，x4.8 是原分式方程的解且符合题意， 即她应该选择穿 4.8 cm 的高跟鞋看起来更美 11解析 (1)根据等腰三角形两底角相等求出AC
13、B72，再根据角平分线的定义求出 BCE36，从而得到BCEA，然后判定ABC 和CBE 相似，根据相似三角形对应边成 比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证； (2)根据等角对等边的性质可得 AEBC，再根据黄金比求解即可 解：(1)证明：ABAC，A36， ACBB (18036)72. 1 2 CE 平分ACB， BCEACE ACB 7236， 1 2 1 2 BCEAACE36，AECE， BEC180BCEB72， BECB， BCCEAE. 又BB， ABCCBE， ， AB BC BC BE BC2ABBE， 即 AE2ABBE， E 为线段 AB 的黄金分割点 (
14、2)E 为 AB 的黄金分割点，. AE AB 51 2 又 BCAE， BCAB42 2. 51 2 51 25 12证明：在正方形 ABCD 中，设 AB2a. N 为 BC 的中点，NC BCa. 1 2 在 RtDNC 中，NDa. NC2CD2a2（2a）25 又NEND， CENENC(1)a， 5 ， CE CD (51)a 2a 51 2 矩形 DCEF 为黄金矩形 13解：(1)如图所示 (2)BCD 是黄金三角形 证明如下：点 D 在 AB 的垂直平分线上， ADBD， ABDA36. A36，ABAC，ABCC72， ABDDBC36. 又BDCAABD72， BDCC，BDBC， BCD 是黄金三角形 (3)设 BCx，ACy，由(2)知，ADBDBCx. DBCA，CC， BDCABC， ，即 ， BC AC DC BC x y yx x 整理，得 x2xyy20，解得 xy. 1 5 2 x，y 均为正数，k . x y 51 2
