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1、第四单元 用转化的策略解题前苏联著名数学家雅诺科斯妞娅，有一次向参加奥林匹克数学竞赛的同学说：“什么叫解题？解题就是把题目转化为已经解过的题。”这句话道出了解数学题常用的也是十分重要的一种方法转化。这种转化通常是指转化条件或问题，特别是转化题中的数量关系。【例1】 一个两位小数，去掉小数点后比原来的数大53.46。这个两位小数是多少？【分析与解】题中“两位小数去掉小数点”是什么意思呢？把它换句话说就是“把这个两位小数扩大100倍，得到一个新数（整数）”。新数比原来的数大多少呢？原数是1倍数，新数是100倍数，新数比原数大100倍-1倍=99倍，这样，题中“去掉小数点后比原来的数大53.46”这
2、个条件换句话说就是“原数的99倍等于53.46”。现在，题中的数量关系就明朗了，原来的问题也就转化成一个我们早已会解的、比较简单的新问题了：“一个数的99倍是53.46，求这个数。”原来这个数是：53.46（100-1）=0.54【例2】4本日记本和8本练习本的价钱相等。小明买3本日记本和5本练习本，共用去2.2元。问日记本和练习本的单价各是多少元？【分析与解】把“4本日记本和8本练习本价钱相等”换句话说，就是“1本日记本和2本练习本价钱相等”；再把它换句话说，就是“3本日记本和6本练习本价钱相等”；把它也换句话说，就是“3本日记本可以换成6本练习本”，与题目中的第2个条件“3本日记本和5本练
3、习本，共用去2.2元”一比较，可知，“买6本练习本和5本练习本，共用去2.2元”。这样，容易先算出每本练习本的价钱是：2.2（6+5）=0.2（元） 从而，日记本的单价是：0.22=0.4（元）【例3】两个数相除的商是21，余数是3。如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。被除数、除数各是多少？【分析与解】我们知道，在有余数的除法里，商和除数相乘，再加上余数，结果等于被除数。题目中前一句话换个说法就是：被除数比除数的21倍还多3。再换个说法就是：被除数与除数的和比除数的“21+1”倍还多3。题目中第二句话换个说法是：被除数与除数的和是225-（21+3）=201。整个题目的意思换个
4、说法就是：201比除数的22倍多3。从而可以先求出除数是：（201-3）22=9从而，可求出被除数是：219+3=192从上面的例1、例2、例3，我们可以看出，一些数学题中的已知条件（一般表现为数量关系）可以用多种方法来说。要学会把这种数量关系“换句话说”，使题目中的已知条件变得更加直接，使已知量与未知量之间的关系更加一目了然。经常做这种“换句话说”的练习，可以提高我们审题的水平，特别是对题的快速反应的能力。【例4】两堆煤，第一堆16吨，第二堆10吨，5天内两堆煤烧掉同样多吨数，这样第一堆剩下的煤正好是第二堆所剩煤的4倍。问5天中两堆煤被烧掉了多少吨？【分析与解】题目中的已知条件先是说“现有煤
5、”的吨数，后面已知“剩下煤”的倍数关系，这“现有”与“剩下”之间看上去并没有什么直接关系。要想沟通它们之间的关系，应当知道烧去多少吨，而这又是一个未知量，怎么办？再看一遍题目，发现了“同样多”这个关键词（也是个隐蔽条件），它能告诉我们什么呢？从下面的图（图111）中可以看出：“第一堆剩下的”与“第二堆剩下的”仍相差6吨。又知道“第一堆剩下的”是“第二堆剩下的”4倍。问题就转化为“差倍问题”了。可先求出第二堆剩下的煤为：（16-10）（4-1）=2（吨）5天内烧掉的煤为：10-2=8（吨）在上面这个例题中，我们是把两个量的相差关系，转化为另外两个量之间的相差关系，而使题中的数量关系变得更加直接了
6、。这种转化当然是有条件的，那就是从两个量到另外两个量的变化（增加或减少）是同样的。就像两个年龄不同的人，几年以后他们岁数的差保持不变，也是有原因的，因为几年后两人岁数增加得也一样多。这种“差不变”的性质可用下面的式子表示：如果 A-B=r那么 （A+m）-（B+m）=A+m-B-m=A-B=r（A-m）（B-m）=A-m-B+m=A-B=r运用这条“差不变”的性质来转化数量关系，对于解答一些较复杂的图形问题也是很有用的。【例5】如图112，正方形ABCD中，AB=4厘米，三角形BCF的面积比三角形DEF的面积多2平方厘米。求DE的长。【分析与解】要求DE的长，好像应当知道三角形DEF的面积及D
7、F的长才行，这两个条件题目中都没有。仔细观察图形，我们可以发现：三角形BCF的面积比三角形DEF的面积多出的2平方厘米，不就是正方形ABCD的面积比三角形ABE面积多的部分吗？于是，求出DE的长是：（44-2）24-4=1424-4=3（厘米）【例6】有两种糖果放在一起，再放入16块硬糖以后，软糖只占两种糖果的1/4.那么，这堆糖果中软糖有多少块？【分析与解】在这道题中，我们可把软糖的块数看作单位“1”，将”其中软糖占9/20”转化成糖的总数是软糖的20/9，再放入16块硬糖说明总署也增加16块，这时软糖只占两种糖果的1/4，转化成糖的总数是软糖的4/1，因此软糖的块数是：16（4/1-20/
8、9）=9（块）。【例7】抄一份资料，甲、乙单独抄各要10天完成，丙单独抄要7.5天完成。现在三人合抄，在抄的过程中，甲因事外出一天，丙因病休息0.5天，结果用了多少天的时间抄完？【分析与解】这道题属于工程问题。我们把这份资料的总页数看作单位“1”，根据题意可知：甲乙两人的工作效率都是1/10，丙的工作效为：17.5=2/15 三人的工作效率之和为：1/10+1/15+2/15=1/3假如甲和丙都不休息的话，我们就可以直接用单位“1”除以三人的工作效率之和求出结果。但是现在题目中告诉我们：“甲因事外出一天，丙因病休息0.5天”，这就给解题带来了困难。那么怎样解这道题呢？从题目中我们知道甲、乙两人
9、的工作效率是相同的，如果把甲休息一天变换为甲、乙两人各休息了0.5天，题目中的条件“在抄的过程中，甲因事外出一天，丙因病休息0.5天”就可转化为“在抄的过程中，甲、乙、丙三人因事都休息了0.5天”，这样，只要把三人合做的天数加上三人都休息的0.5天就行了。由此，可算出实际抄完这份稿件所用的时间为：11/3=0.5=3.5(天)【例8】一个邮递员骑车送信去山上某气象预报小组驻地，上午10时半离开邮局，先走了段平路，然后上山。在山上休息40分钟后，顺原路返回邮局，下午2点10分回到邮局。已知他在平地每小时行12千米，上山每小时行10千米，下山每小时行15千米。这个邮递员往返共走了多少千米？【分析与
10、解】这道题只知道邮递员在平地上与上、下山的速度，能求出行的总时间是3小时，但由于总路程不知道，不能求出在平地、上、下山所行的时间。我们不妨适当变换条件的叙述方式，上山每小时行10千米，就是上山每行1千米需要1/10小时；下山每小时行15千米，就是下山每行1千米需要1/15小时，那么上山和下山各行1千米需要（1/10+1/15）小时，由此可以求出上山和下山的平均速度是：2（1/10+1/15）=12千米 这个速度与邮递员在平地上所行的速度正好相等。因此，往返的总路程是：123=36（千米） 同步练习一、计算： 11111666667777833333 0.858.59.90.90.990.999
11、0.99990.99999 201032168421二、求图形的周长： 三、求涂色部分的面积（单位：平方厘米）四、解决实际问题：1.一块长方形花圃。如果长增加4米，面积就增加24平方米；如果宽减少3.5米，面积就减少28平方米。原来长方形花圃的面积是多少平方米？2. 有三堆围棋子，每堆 90 枚，第一堆中的黑子与第二堆的白子同样多，第三堆中有 1 是白子，这三堆棋子中共有白子多少枚？3.已知AB=BC=CD=5厘米，求阴影部分的面积。4.如果把数字7写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加70000。原来的数是多少？5. 1234100的积的末尾有多少个连续的“0”？ 6.如图113， BCEF是平行四边形，三角形ABC是直角三角形，BC长8厘米，AC长7厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大12平方厘米。求HC的长。4
