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1、如何评判竞赛试卷作者：卢雄 黄清雨 邵丽娜摘要： 本文建立了一个关于如何使评卷工作具有相对公平性和经济性的科学评卷方法的数学模型。本文首先利用Q值法求出公平的获奖分配名额数。通过Q值法计算可以推出一、二、三等奖对应的队数为24、28、43时这种分配最公平。同样通过Q值法，类似可以计算总队数分配给A、B、C类的名额及B、C类各自的名额分配。在公平性的基础上考虑经济性原则，即每一位专家评委评阅的试卷越少越好，从而得到以下方案：对于评分模式采取百分制原则，对于阅卷方案采取淘汰制原则。每轮阅卷后，淘汰获奖概率小于某个常数b的参赛队。通过此方法可以得到获一、二、三等奖的名单。本文将证明上述方案优于原方案
2、。由于模型是在理想化的基础上建立的，因而上述模型在现实应用中仍有不可避免的误差，例如专家评委的主观评分误差。为了使该误差控制在最小范围内，本文将采取一些优化方法，即对各个的专家评委的评分能做出合理的量化，并以这些量化对参赛队的得分进行加权平均，得到公式为。而后，我们又提出一种更优的阅卷方案圆桌轮换淘汰法，此方案在公平性上，和效率上都优于前面提出的方案。关键词： Q值法 百分制 淘汰制 加权平均 圆桌轮换淘汰法12一、问题复述及提出大型竞赛不仅考查学生对知识的掌握程度和应用能力，而且还带有挑选、淘汰的性质。这种竞赛就必然要求做到公平公正。由于参与人数众多，试卷批阅的公平性受到了越来越多的关注，如
3、何建立公正有效的阅卷方式已经成为了一个重要课题。不管采用何种方法择阅，专家评委对评分规则的理解必会有差异,要做到绝对公平是非常困难的，但是我们还是可以运用科学的评卷方法使评卷工作相对公平。在确定各类比赛的优胜者时,常要评阅大量答卷. 理想情况是每个专家评委看完所有答卷并排序,但这样工作量太大,为减少工作量,且保证一定的概率让最优秀的答卷被选上,需要确定一种评卷方法。附件一是某校在一次竞赛中，专家评委按等级制的打分，试卷分为十二等级分：A+、A、A-、B+、B、B-、C+、C、C-、D+、D、D-,请以公平性为原则，按类别以10%、12%、18%的比例计算出获一、二、三等奖的队。我们以附件一为例
4、展开分析、讨论、建立理想科学的评卷数学模型二、符号说明M参赛的总队数N专家评委的个数ai第i等奖的获奖比例，a表示总获奖比例Mi第i轮候剩下的参赛队数b为否定度，即当该参赛队的获奖概率小于b时，则淘汰三、模型假设(1) 假设每个专家评委有较高的评卷能力，且评卷能力是无差异的；(2) 每个专家评委阅的试卷是随机抽取的；(3) A和B两个题目之间没有的差异，可以认为做两个题目获奖的几率是等同的；(4) 专家评委独立工作，互不干扰。四、模型建立及求解问题一初步模型首先将D-A+12个等级分别对应数字112,即是将所给数据中专家评委对各队的评分等级转化为相应的数字，可把该数字视作各队的得分，利用EXC
5、EL软件求出各队的得分平均值，将同类别参赛队的平均值以降序排列。同时计算出各类别参赛队名额的40%数值，和一二三等奖对应的人数。得到如下表格：参赛队数获奖总数一等奖人数二等奖人数三等奖人数A类23895.223.828.5642.84B类72.80.70.841.26C类145.61.41.682.52总队数259103.625.931.0846.62采用“四舍五入”的方法可得到如下表格：参赛队数获奖总数一等奖人数二等奖人数三等奖人数A类23895242943B类73111C类146123总队数259104263147注意到在A类中获奖总数不等于一、二、三等奖的人数之和，即9524+29+43
6、此问题如何解决呢？首先我们考虑让A类的获奖总数增加一个，这样A类的问题可以得到解决，但是这样做出的结论和校方制定的获奖总数为40%不符，因为10496+3+6，那么在总队数不变的情况下，怎样分配名额最公平呢？首先介绍一个定理Q值法（见参考文献【1】）：设第方人数为，已占有个名额，当总名额增加一个时，计算：应将这一名额分配给Q值最大的一方，这种名额分配方法称为Q值法。我们知道一、二、三等奖的获奖比例是5：6：9。而获奖总队数是95，从而可知一、二、三等奖对应的队数应该是23.75、28.5、42.75。截断小数部分得到对应的队数为23，28，42，则问题转化为如何把剩下的2个名额分配给一、二、三
7、等奖对应的队数。首先对于第一个名额，由于一、二、三等奖的获奖比例是5：6：9，我们可以假定，他们三方对应的数量为5、6、9，则有从而可以简单推出第一个名额应该分配给一等奖之列。对于第二个名额，用同样方法可以简单计算出,.从而可以得知第三个名额应该分配给三等奖之列。即一、二、三等奖对应的队数为24、28、43时这种分配最公平。同样通过Q值法，类似可以验算总队数分配给A、B、C类的名额及B、C类各自的名额分配，可以得到最优的分配如下表：参赛队数获奖总数一等奖人数二等奖人数三等奖人数A类23895242843B类73111C类146123总队数259104263147最终根据EXCEL平均值降序排列
8、表得知获奖队名单，详见附件。问题二初步模型考虑经济性原则（每一位专家评委评阅的试卷越少越好）基础上，建立一种评卷方法的数学模型。首先我们建议采取百分制评分模式因为大型竞赛一般难以给出具体公平的评分标准，专家评委阅卷中对一份试卷的界定是定性思维与定量思维相结合的过程，而且人的第一感觉往往很难改变故一般认为，等级制比百分制简洁而且容易界定，并且前者数据处理复杂度低，是首选的做法但是如果想将评分尽量做到公平完善时，百分制就显示出不可忽略的优势首先百分制和等级制原本是一样的，只是精确度不同，百分制就是把5分或10分一个等级精确到每1分一个等级；其次采用百分制可将专家评委给分转化成标准分，通过对评分的调
9、整使得答卷分数趋于一致，并且构造判断矩阵做一致性检验，从而进一步减少尺度误差和不公平现象；再次数据精确度是随公平性等级和尺度偏差等级数增加而增加的。因而我们建议采用百分制。 其次我们提出以下一种阅卷方案：假设有M支参赛队，N位专家评委，每位专家评委出错的概率为c，参赛队获奖比例为a，其中一、二、三等奖的比例分别为。每轮改卷后采用淘汰制，进行一轮后，当排名小于某个数的参赛队获奖概率小于某个常数b，则淘汰这些队数。考虑第一轮：从而得到.则在第二轮有从而得到如此进行下去直至。然后取，采取同样的方法可以求出，取，可以得到获一、二等奖的名单，同理最终可得一等奖的名单。模型检验我们以附件所给的数据中的A类
10、参赛队为例。 其中M=238，N=12，分别为10%，12%，18%， 由于我们假设各位专家评委水平相当，且都是有一定的水准的，因为我们可以取c=0.01，取b=0.005，则淘汰率p=0.5。经过三轮淘汰可以得到，从而可取；重复上述步骤，再经过两轮之后可以得到，再取；重复上述步骤，可再经过三轮可以得到；所得数据是经过5轮淘汰后可以确定获得一、二、三等奖的名次，即所排名次在前位的参赛队为一等奖；所排名次在从到位的参赛队为二等奖；所排名次在从到位的参赛队为三等奖。上述方法可以保证较高的公平率，我们可以计算出所阅试卷的总次数为.而所给附件中用excel可以算得A类所阅的总次数为786。显然，所提出
11、的方案优于原方案。五、模型优化问题一优化：在考虑问题一时，我们假设所有的专家评委评卷能力是无差异的。但由于题目的灵活性和参赛队员的多样性，使得答案多种多样，专家评委在评卷时对评分标准的尺度也就难以把握，对考生的评分就不可避免地存在误差。评卷误差是客观存在的，只能控制，不能消除。对于控制评卷误差，有关专家评委学者做了大量的研究，采取过很多措施，例如网上评卷模式、基于神经网络技术的评卷模式等。虽然这些措施取得了一些成效，但是由于时间、方式等因素，这些措施无法在实践中方便地实施和有效地控制误差。只要这个问题得不到解决，竞赛就不能在真正意义上说公平公正。为了更好地解决这一难题，本文提出一种新的评卷模型
12、，使各专家评委的评分在置信区间内趋于一致，新模型可以比较方便地在应用中取得满意结果。我们可以根据专家评委打分的那些统计数据，对专家评委见一些数量指标，根据那些数量指标建立合理的方法评判专家评委的打分能力，因而得出专家评委的打分能力的比例，每个队伍的最终得分则为专家评委打分的加权平均值。对整体份答卷而言位专家评委分别给所有的答卷打分，记第位专家评委给第份答卷的打分为.其中若第份答卷没有被第位专家评委批阅到时，则若没被批阅到时，则则可得一个阶的评价矩阵，记为A=.第位专家评委给这份答卷的平均分，记为这份答卷的平均分，记为 记第位专家评委的系统误差为，则有 ，可得.第份答卷的综合评价值，记为，则用加
13、权算术平均法可得 ， .问题二优化：在处理问题二时，我们理想化假设专家评委的评卷能力是无差别的；而且定义了一个一致出错概率，有点过于笼统。鉴于此我们提出了一种更符合实际的方法。首先，我们假设专家评委对一份试卷评分的偶然误差服从正态分布分布；当参赛队的获奖概率小于时，则淘汰；当参赛队的获奖概率大于时，则选为获奖之列。其次，让所有专家评委围坐在圆桌前，然后对专家评委从1至N依次编号。将M份答卷从1至M依次编号。将M份答卷用Q值法分配给N为专家评委。之后采用圆桌轮换淘汰制改卷。考虑第一轮：设第i只参赛队的得分为，根据获奖比例，我们知道排名在前位参赛队可以获奖，据此我们可以找到，获奖队的最低分数，记为
14、.则可以推导出每支参赛队的获奖概率：我们可先进行抽样分析，确定常数，之后计算出。当时，则淘汰；当时，则选为获奖之列。对于以后的每一轮，方法一样。如此进行下去，必定可以选出获奖参赛队的名单。此方法，在公平性和效率上都优于前面的方法。但限于时间、篇幅和复杂性考虑，我们并没有进行实际的检验。六、模型评价 本文建立的模型较简单，但很清晰。1）对于问题一，我们先运用excel进行数据处理，再引入Q值法来解决获奖名额分配的问题，然后针对专家评委打分能力的问题，利用加权的方法进行调整、优化；2）采用百分制评卷完善公平性，再考虑经济性原则，用淘汰制来提高工作效率，使得问题得到比较到的解答；3）但是假设过于理想
15、化，而且定义了一个一致出错概率，有点过于笼统；4）在模型优化的部分，没用进行模型检验，和实例分析，得到的结论过于草率。5）评判公平问题的解决虽然可以依靠方法、制度甚至立法来实现，但其最终的解决需要提高专家评委群体乃至整个社会的诚信观念和道德素养七、心得体会 参加为期7天的数学建模大赛让我们受益匪浅，在这里具体介绍一下我们的心得体会：1）深刻的体会到了团队合作精神的重要性。建模竞赛的成功不仅仅取决于队员个人的基础和努力，更依赖的还是三名队员合作精神的发挥。既要看见自己的优点，更不可忽视自己的缺点和同伴的优势。有时尽管感觉自己的设想是正确的，但是自己的想法正处于少数情形，所以要及时做到思想上的妥协，尽自己最大的努力去实现多数人的想法，这样方能成功。在竞赛的过程中，队员
