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1、“最短线模型”应用连连看 数学模型实质上是一个数学问题在剔除无关信息后的本质结构。借助数学模型思考问题，能将复杂问题简单化，让学生在较短时间内抓住问题的本质特征，并联想相应的数学知识找到解决问题的途径，进而提高学生的创造性解决问题的能力和数学素养。 中考题虽然千变万化，但很多中考题源于教材，又高于教材，具有“旧貌换新颜”的特点。本文以近年来经常出现的一类与“最短线模型”有关的中考试题为例进行解析，供大家参考。 一、“最短线模型”的呈现及本质认识。 1“最短线模型”的呈现：已知A,B是直线MN同侧的两个点，试在MN上找一点P，使得线段PA与PB之和最短。 如图1，作点B关于MN的对称点B，连接A
2、B交MN于P点，则点P就是所求。（证明略） 2“最短线模型”的本质认识 笔者认为，在平时教学中，教师须引导学生深入地把握数学模型的本质特征，将复杂问题简单化，从而快速获得解题思路。 “最短线模型”的二个条件： （1）A,B是已知直线MN同侧的两个定点，P是MN上的动点；（2）求的是总长度PA+PB最小时，P在MN上的位置。只有（1）（2）全符合时，才能使用“最短线模型”。因此掌握上述两个条件是正确运用这个“最短线模型”解题的关键。 “最短线模型”的结论：PA+PB的最小值=AB或AB；“最短线模型”的数学思想：只有使PA、PB在同一直线时，PA+PB才会最短，浸透运用了图形轴对称“化折为直”的
3、思想。 二、“最短线模型”的应用情境例析 1在与三角形有关的试题中套用 例1如图2，在ABC中，AC=BC=2,ACB=90?,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是。 分析：因为点C,D是AB同侧的两个定点，E为AB上一动点，求EC+ED的最小值，问题完全符合上述的二个条件，因此适用于“最短线模型”。 解：如图3，作点C关于AB的对称点F，连结DF交AB于E点，则EC+ED的最小值是即为DF的长度，连结BF。 ABC为等腰直角三角形，点C、F关于AB对称。 BCF为等腰直角三角形。 D为BC的中点， BD=1,BF=2。 EC+ED=EF+ED=DF=1?2+2?2=5
4、， 答：EC+ED的最小值是5。 2在与菱形有关的试题中套用 例2如图4，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M,N分别是AB，BC边上的中点，则PM+PN的最小值是?（）? ?（A）2（B）1 (C)2(D)12? 分析：M、N是对角线AC同侧的两定点，P是AC上的动点，求的是PM+PN的最小值，符合“最短线模型”的条件。作N关于AC的对称点G，由于四边形ABCD是菱形，所以G一定是DC的中点，连结MG交AC于P，四边形AMGD为平行四边形，则PM+PN最小值=PM+PG=MG=BC=1。故选?（B）? 3在与正方形有关的试题中套用 例3如图5，在边长为2?cm?的正方形ABC
5、D中，Q为边BC的中点，P为对角线AC上一动点，连结PB,PQ，则PBQ周长的最小值为（结果不取近似值） 分析：此题的设置是以正方形为背景的。由于线段BQ是定长，欲求PBQ周长的最小值，即求PB+PQ的最小值。B,Q是直线AC同侧的两定点，点P是AC上动点，符合最短线模型。点B关于直线AC的对称点是点D，根据模型连接DQ即可解答此题。PBQ周长的最小值为（5+1）?cm? 4在与梯形有关的试题中套用 例4如图6，已知直角梯形ABCD中ADBC，ABBC，AD=2BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，APD中边AP上的高为?（）? ?（A）21717（B）41717 （C）
6、81717（D）3? 分析：这是载体为梯形的“最短线模型”，如图7，点A,D是边BC同侧的两个定点，P是BC上的动点，求的是当PA+PD取最小值时APD边AP上的高，符合最短线模型。因此，先作出A点关于BC的对称点E，连接DE交BC于P点，连接AP，再过点D作DFBC于F，过点D作DGAP于G。 易求得AB=DF=4，再由AB=BE且ADBC知BP是ADE的中位线，BP=12AD=1AP=17。 因为ADP的面积=12AD?DF=12AP?DG，所以DG=AD?DFAP=81717，故选?（C）? 三、总结 授人以鱼，不如授之以渔。对于广大一线教师来说，教给学生解决数学问题的思想方法，使学生学会学习，远比教给学生数学知识本身重要得多。在平时教学中，教师应挖掘教材中典型例、习题的教学功能，重视数学模型的建立和问题解决的思想方法，引导学生或套用模型或活用模型策略去解决问题，鼓励学生大胆想象，进而使学生触类旁通，知一题（模）会一片（类）。 （作者单位：浙江省衢州市常山县三衢中学）
