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1、2011年“北约”13校联考自主招生数学试题2012年北约自主招生数学试题1、求的取值范围使得是增函数；2、求的实数根的个数；3、已知的4个根组成首项为的等差数列，求；4、如果锐角的外接圆的圆心为，求到三角形三边的距离之比；5、已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值。6、在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得在有唯一解的；8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中2012年自主招生北约联考数学试题解答2013年北约自主招生数学试题解析1以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？解析：显然，多
2、项式的系数均为有理数，且有两根分别为和.于是知，以和为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和，其中不全为0，则：即方程组：，有非0有理数解.由（1）+（3）得： （6）由（6）+（2）得： （7）由（6）+（4）得： （8）由（7）（5）得：，代入（7）、（8）得：，代入（1）、（2）知：.于是知，与不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和.综上所述知，以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停
3、放方法？解析：先从6行中选取3行停放红色车，有种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有种停放汽车的方法.3已知，求的值.解析：根据条件知：由两式相减得故或若则，解得.于是知或.当时，.当时.（2）若，则根据条件知：，于是，进而知.于是知：.综上所述知，的值为或.4如图，中，为边上中线，分别的角平分线，试比较与的大小关系，并说明理由.解析：如图，延长到，使得，连接.易知，所以.又因为分别为的角平分线，所以，知为
4、线段的垂直平分线，所以.所以.5数列满足，前项和为，求.解析：根据条件知：.又根据条件知：.所以数列.又.令，则，所以.即.对，两边同除以，有，即.令，则，于是知.所以.于是知：.6模长为1的复数，满足，求的模长.解析：根据公式知，.于是知：.所以的模长为1.7最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数.解析：所有正整数按取模3可分为三类：型、型、型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取型数为，型数为，型数为，则，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类型的数至少取到三个，设
5、其中三个分别为，则，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取个数，才有可能满足题设条件.另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件.综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8已知，满足，且，求证：.解析：根据条件知:，（1）另一方面，令，则中每个数或为，或为.设其中有个，个，则：（2）由（1）、（2）知： （3）而为奇数，不可能为0，所以.于是知：.从而知：，即得.同理可知：.命题得证.9对任意的，求的值.解析：根据二倍角和三倍角公式知：.10已知有个实数，排列成阶数阵，记作，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当
6、时，都有.现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，都有.试判断中每一行的个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意，都有，其中.若存在一组.令，其中，.则当时，都有.也即在中，至少有个数小于，也即在数阵的第列中，至少排在第行，与排在第行矛盾.所以对于任意，都有，即数阵中每一行的个数从左到右都是递增的.2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2将答案写在
7、答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设复数z满足且，则（A）（B） （C）（D）【答案】D2在正四棱锥P-ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与地面所成二面角的正切值为。则一面直线DM与AN所成交角的余弦值为（A）（B） （C）（D）【答案】B3过点的直线与曲线相切，且不是切点，则直线的斜率是（A）2（B）1 （C）（D）【答案】C4若，则的最小值和最大值分别为（A） （B） （C）（D）【答案】BB A O1 O O2 C 5如图，O1和O2外切于点C，
8、O1，O2又都和O内切，切点分别为A，B。，则（A）（B）（C）（D）【答案】B或C？6已知异面直线所成60角，A为空间中一点，则过A与都成45角的平面（A）有且只有一个（B）有且只有两个（C）有且只有三个（D）有且只有四个【答案】B7已知向量，。则 的最小值为（A）1 （B） （C） （D）2【答案】B8AB过抛物线焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为（A）（B）（C）（D）【答案】ABACDEF9如图，已知ABC的面积为2，D，E分别为边AB，边AC上的点，F为线段DE上一点，设，且，则BDF面积的最大值为（A）（B）（C）（D）【答案】D10将一个正11
9、边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（A）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形（B）存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形（C）存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形（D）任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形【答案】二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。11（本小题满分14分）已知ABC不是直角三角形。（I）证明：；（II）若，且的倒数成等差数列，求的值。12（本小题满分14分）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯
10、的重心还在圆柱轴的中点处。（）若，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？13（本小题满分14分）已知函数，令，。（）求数列的通项公式；（）证明：。14（本小题满分14分）已知双曲线（），分别为C的左、右焦点，P为C右支上一点，且使，又F1PF2的面积为。（）求C的离心率e；（）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数，使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。15（本小题满分14分）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示未出现连续3次正面的概率。（）求和；（）探究数列的递推公式，并给出
11、证明；（）讨论数列的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。解答：（1），。（）如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是；如果第n次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是；如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是。如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现正面，那么已经出现连续3次正面，所以不需要考虑。综上，有（）。其中，。
12、我们先定义几个函数：f(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至少有连续3次相同，总共有f(n)种情况。g(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次连续相同，总共有g(n)种情况。h(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次不相同，总共有h(n)种情况。显然，下面的等式成立：f(n)+g(n)+h(n)=2nf(n)=2f(n-1)+g(n-1)g(n)=h(n-1)化简得：g(n+1)=g(n)+g(n-1)这个著名数列就不再啰嗦了最后由g(n)求得f(n)当然，最后的结果是f(n)/2,因
13、为连续正与连续负的情况是相等的2012年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学部分注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）在锐角中，已知,则的取值范围为（ ）(A) (B) (C) (D) （2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种（3）正四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，侧棱与底面正方形的对角线所成角为，相邻两侧面所成二面角为， 则之间的大小关系是（ ） (A) (B) (C) (D) （4）向量，。若，则（ ）(A) (B) (C) (D) （5）若复数的实部为0，是复平面上对应的点，则点的轨迹是( )(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧（6）椭圆长轴长为4，左顶点在圆上，左准线为轴，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） (A) (B)
