《2014届高考数学(文科-人教版)二轮专题复习提分训练：空间几何体的表面积和体积]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高考数学(文科-人教版)二轮专题复习提分训练：空间几何体的表面积和体积]（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 空间几何体的表面积和体积高考试题考点一 根据三视图求组合体的体积或表面积1.(2013年新课标全国卷,文11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()(A)16+8 (B)8+8(C)16+16 (D)8+16解析:由三视图可知该几何体为一组合体,组合体的上面部分为从同一顶点出发的三棱长分别为4、2、2的长方体,下面部分为半圆柱,其中底面半径为2 ,母线长为4,其直观图如图所示,故几何体的体积为224+224=16+8.故选A.答案:A2.(2012年广东卷,文7)某几何体的三视图如图所示,它的体积为()(A)72(B)48(C)30(D)24解析:由三视图知,该几何体是由圆锥和半球
2、组合而成的,直观图如图所示,圆锥的底面半径为3,高为4,半球的半径为3.V=V半球+V圆锥=33+324=30.答案:C3.(2011年湖南卷,文4)如图所示,是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()(A)9+42 (B)36+18(C)+12(D)+18解析:由三视图可知,该几何体是由直径为3的球和长、宽、高分别为3、3、2的长方体组合而成,V=+332=+18.答案:D4.(2010年安徽卷,理8)一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为()(A)280(B)292(C)360(D)372解析:该几何体上部是长为6,宽为2、高为8的长方体,下部是长为8,宽为10,高为2的长方体.S
3、组合体表=268+228+62+8102+822+1022-62=96+32+12+160+32+40-12=360.答案:C5.(2013年北京卷,文10)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为.解析:将三视图还原为几何体是一个底面为正方形的四棱锥,其底面边长为3,高是1,故其体积为V=91=3.答案:36.(2012年天津卷,文10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.解析:由三视图可知,该几何体为一个长方体与四棱柱的组合体,长方体的长,宽,高分别为4,3,2,四棱柱的高为4,其上、下底面为两底长分别为1,2,高为1的直角梯形,故组合体的体积V=342+(1
4、+2)14=30(m3).答案:307.(2012年湖北卷,文15)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.解析:由三视图可知,该几何体是由两个底面直径为4,高为1的圆柱和一个底面直径为2,高为4的圆柱组合而成,V=2212+124=12.答案:12考点二 根据几何体的直观图求其表面积或体积1.(2010年北京卷,文8)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,动点E,F在棱A1B1上,点Q是棱CD的中点,动点P在棱AD上.若EF=1,DP=x,A1E=y(x,y大于零),则三棱锥PEFQ的体积()(A)与x,y都有关(B)与x,y都无关(C)与x有关,与y无关(D)与y有
5、关,与x无关解析:三棱锥PEFQ的体积可以看作是以PEF为底面,而PEF的底EF=1,高A1P=,与x有关,三棱锥PEFQ的高为点Q到平面PEF的距离.CDEF,CD平面PEF.点Q到平面PEF的距离等于点D到平面PEF的距离,与y无关,故选C.答案:C2.(2012年江苏卷,7)如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥ABB1D1D的体积为cm3.解析:连接AC交BD于O,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,四边形ABCD是正方形,ACBD,且BD=3.又BB1底面ABCD,ACBB1,又DBBB1=B,AC平面BB
6、1D1D,即AO的长是点A到平面BB1D1D的距离, =32=6,AO=, =6=6(cm3).边答案:63.(2013年湖北卷,文16)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是寸.(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)解析:圆台的下底面半径为6寸,上底面半径为14寸,高为18寸,雨水线恰为中位线,故雨水线截面的半径是10寸,降水量为 =3(寸).答案:34.(2013年江苏卷,8)如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB
7、,AC,AA1的中点.设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1V2=.解析: = = =.答案:1245.(2012年山东卷,文13)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥ADED1的体积为.解析: =111=.答案:6.(2013年重庆卷,文19)如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,PA=2,BC=CD=2, ACB=ACD=.(1)求证:BD平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥PBDF的体积.(1)证明:因为BC=CD,所以BCD为等腰三角形,又ACB=ACD,故BDAC.因为
8、PA底面ABCD,所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD平面PAC.(2)解:三棱锥PBCD的底面BCD的面积SBCD=BCCDsinBCD=22sin =.由PA底面ABCD,得=SBCDPA=2=2.由PF=7FC,得三棱锥FBCD的高为PA,故=SBCDPA=2=,所以=-=2-=.7.(2013年新课标全国卷,文19)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.(1)证明:ABA1C;(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABCA1B1C1的体积.(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB
9、,所以OCAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1=O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.(2)解:由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=.又A1C=,则A1C2=OC2+O,故OA1OC.因为OCAB=O,所以OA1平面ABC,OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高.又ABC的面积SABC=,故三棱柱ABCA1B1C1的体积V=SABCOA1=3.8.(2013年新课标全国卷,文18)如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1平面A1CD;
10、(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥CA1DE的体积.(1)证明:连接AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连接DF,则BC1DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)解:因为ABCA1B1C1是直三棱柱,所以AA1CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CDAB.又AA1AB=A,于是CD平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2得ACB=90,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DEA1D.所以=1. 考点三 球的表面积和体积1.(2012年新课标全国卷,文8)平面截球O的球
11、面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为,则此球的体积为()(A) (B)4(C)4(D)6解析:设截面圆的圆心为O,M为截面圆上任一点,则OO=,OM=1,OM=,即球的半径为,V=()3=4.答案:B2.(2013年新课标全国卷,文15)已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为.解析:如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AHHB=12,所以OH=R.由勾股定理,有R2=r2+OH2,又由题意得r2=,则r=1,故R2=1+,即R2=.由球的表面积公式,得S=4R2=.答案:3.(2013年新课标全国卷,文15)已知
12、正四棱锥OABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.解析:正四棱锥OABCD中,顶点O在底面的射影为底面中心E,则()2OE=,所以OE=,故球半径OA=,从而球的表面积为24.答案:244.(2009年大纲全国卷,文15)已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3,则球O的表面积等于.解析:圆M的面积为3,圆M的半径r=.设球的半径为R,则R2=R2+3,R2=3,R2=4.S球=4R2=16.答案:16考点四 球的内接几何体的表面积与体积1.(2011年辽宁卷,文10)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,A
13、B=2,ASC=BSC=45,则棱锥SABC的体积为()(A)(B)(C)(D)解析:如图所示,由题意知,在棱锥SABC中,SAC,SBC都是等腰直角三角形,其中AB=2,SC=4,SA=AC=SB=BC=2.取SC的中点D,易证SC垂直于面ABD,因此棱锥SABC的体积为两个棱锥SABD和CABD的体积和,所以棱锥SABC的体积V=SCSADB=4=.答案:C2.(2013年天津卷,文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为.解析:由对称性知正方体对角线即其外接球直径,设球半径为R,正方体棱长为a,则R3=,R=,则=3,得a=.答案:3.(2011年四川卷
14、,文15)如图所示,半径为4的球O中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是.解析:法一设球的半径与圆柱的高所成的角为,则圆柱底面半径为4sin ,高为8cos ,S圆柱侧=24sin 8cos =32sin 2.当sin 2=1时,S圆柱侧最大为32.此时S球表-S圆柱侧=442-32=32.法二设圆柱底面半径为r,则其高为2,S圆柱侧=2r2=44=2R2（“=”）.又R=4,S圆柱侧最大为32.此时S球表-S圆柱侧=442-32=32.答案:32模拟试题 考点一 根据组合体的三视图求其表面积或体积1.(2013山东淄博一模)一个直棱柱被一个平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(
