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1、2009年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）（2009湖南）log2的值为（）ABCD【考点】对数的运算性质菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想【分析】先将转化成，然后根据对数的运算性质进行求解即可【解答】解：log2=log22=故选：D【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是对数运算中常用的公式，属于基础题2（5分）（2009湖南）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A（4，0）B（2，0）C（1，0）D【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【分析】先根据抛物线y2=4x的方程求出p的值，进而得到抛物线的焦点坐标【解答】解：2
2、p=4p=2，抛物线y2=4x的焦点是（1，0），故选C；【点评】本题主要考查抛物线的简单性质属基础题3（5分）（2009湖南）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A13B35C49D63【考点】等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一道基础题4
3、（5分）（2009湖南）如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）A+=B+=C+=D=【考点】向量加减混合运算及其几何意义菁优网版权所有【分析】模相等、方向相同的向量为相等向量，得出图中的相等向量，再由向量加法法则得选项【解答】解：由图可知=，=在DBE中，+=0，即+=0故选项为A【点评】考查向量相等的定义及向量加法的三角形法则5（5分）（2009湖南）某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）A14B16C20D48【考点】计数原理的应用菁优网版权所有【专题】计算题【
4、分析】本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有C21C42种；不含有甲的选法有C43种，根据分类计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类：含有甲的选法有C21C42种，不含有甲的选法有C43种，共有C21C42+C43=16（种），故选B【点评】本题考查分类计数问题，在排列的过程中出现有特殊情况的元素，需要分类来解，不然不能保证发言的3人来自3家不同企业6（5分）（2009湖南）平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A3B4C5D6【考点】平面的基本性质及推论菁优网版权
5、所有【专题】计算题【分析】根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱【解答】解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件故选C【点评】本题考查了平行六面体的结构特征和公理2的推论的应用，找出与AB和CC1平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力7（5分）（2009湖南）若函数y=f（x）的导函数在区间a，b上是增函数，则函数y=f（x）在区间a，b上的图象可能是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】数形结合法【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，用排除法进行判断【解答】解：函
6、数y=f（x）的导函数在区间a，b上是增函数，对任意的axxb，有f（a）f（x）f（x）f（b），也即在a，x，x“，b处它们的斜率是依次增大的A 满足上述条件，B 存在f（x）f（x），C 对任意的axxb，f（x）=f（x），D 对任意的xa，b，f（x）不满足逐项递增的条件，故选A【点评】掌握函数的单调性与导函数的关系，并会观察图形8（5分）（2009湖南）设函数=f（x）在（，+）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=取函数f（x）=2|x|当K=时，函数fK（x）的单调递增区间为（）A（，0）B（0，+）C（，1）D（1，+）【考点】函数单调性的判断与证明菁优网版权所有【
7、专题】计算题；压轴题【分析】先根据题中所给的函数定义求出函数函数fK（x）的解析式，是一个分段函数，再利用指数函数的性质即可选出答案【解答】解：由f（x）得：，即，解得：x1或x1函数fK（x）=由此可见，函数fK（x）在（，1）单调递增，故选C【点评】本题主要考查了分段函数的性质、函数单调性的判断，属于基础题二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9（5分）（2009湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12【考点】交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】应用题；集合【分析】设两者都喜欢的
8、人数为x人，则只喜爱篮球的有（15x）人，只喜爱乒乓球的有（10x）人，由此可得（15x）+（10x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15x）人，只喜爱乒乓球的有（10x）人，由此可得（15x）+（10x）+x+8=30，解得x=3，所以15x=12，即所求人数为12人，故答案为：12【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题10（5分）（2009湖南）若x0，则x+的最小值为【考点】基本不等式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由于x和都是正数
9、，x与的积是常数，所以使用基本不等式求式子的最小值，注意检验等号成立条件【解答】解：x0，0，由基本不等式得：x+2，当且仅当x=，即x=时取等号，当x=时，x+有最小值为 2，故答案为2【点评】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式使用条件：一正、二定、三相等，即不等式的各项都是正数，和或积中出现定值、等号成立条件具备11（5分）（2009湖南）在的展开式中，x的系数为6【考点】二项式系数的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据题意，的展开式为Tr+1=C4r（）r；分析可得，r=2时，有x的项，将x=2代入可得答案【解答】解：根据题意，的展开式为Tr+1=C4r（）r；当r=2时，
10、有T3=C42（）2=6x；故答案为：6【点评】本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简12（5分）（2009湖南）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为120【考点】分层抽样方法；等可能事件的概率菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一【解答】解：B层中每个个体被抽到的概率都为，总体中每个个体被抽到的概率是，由分层抽样是等概率抽样得总体中的个体数为10=12
11、0故答案为：120【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样13（5分）（2009湖南）过双曲线C：=1（a0，b0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B若AOB=120（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为2【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据题意可先求得AOF利用OF和OA，在直角三角形中求得的值，进而可求得双曲线的离心率【解答】解：如图，由题知OAAF，OBBF且AOB=120，AOF=60，又OA=
12、a，OF=c，=cos60=，=2故答案为2【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质解题的过程中采用了数形结合的思想，使问题的解决更直观14（5分）（2009湖南）在锐角ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】（1）根据正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到AC=2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角ABC和B=2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可【解答】解：（1）根据正弦定理得：=，因为B=2A，化简
13、得=即=2；（2）因为ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故故答案为：2，（，）【点评】考查学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B=2A变换角得到角的范围15（5分）（2009湖南）如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若=x+y，则x=，y=【考点】相等向量与相反向量菁优网版权所有【专题】压轴题；待定系数法；数形结合法【分析】设，求出题中有关线段的长度及有关角的大小，利用2个向量的数量积公式，待定系数法求出x、y的值【解答】解，又 ，又，
14、设，则由题意知：又BED=60，显然与的夹角为45由 得1cos45=（x1）1，x=+1 同理，在中，两边同时乘以，由数量积公式可得：y=，故答案为：1+，【点评】本题考查2个向量的混合运算，两个向量的数量积定义式、公式的应用，待定系数法求参数值，体现了数形结合的数学思想，属于中档题三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）（2009湖南）已知向量=（sin，cos2sin），=（1，2）（1）若，求tan的值；（2）若，求的值【考点】平面向量的坐标运算菁优网版权所有【分析】（1）根据平面向量的共线定理的坐标表示即可解题（2）由|=|化简得sin2+cos2=1，再由（0，）可解出的值【解答】解：（1）2sin=cos2sin即4sin=cost
