《指数函数与相关复合函数.尖子班》由会员分享，可在线阅读，更多相关《指数函数与相关复合函数.尖子班（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、指数函数与相关复合函数第5讲 函数15级对数函数与相关复合函数满分晋级 函数13级函数的奇偶性（二）与周期性函数14级指数函数与相关复合函数 5.1幂的运算考点1：幂的运算知识点睛1根式 如果存在实数，使得 (，)，则叫做的次方根 当有意义的时候，叫做根式，叫做根指数 根式的性质： ，(，且 )；2分数指数 规定正数的正分数指数幂的意义： 规定正数的负分数指数幂的意义： 3实数指数幂的运算法则； ； （其中，对任意实数，）【教师备案】本板块主要是化简、求值问题，可小结如下：一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、开方运算，以达到化繁为
2、简的目的. 当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外将分数指数幂写出，然后再利用性质运算.对于计算题的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.解题时要注意从整体上把握代数式的结构特点，先化简后计算妙用公式化简指数式；暑假知识回顾1. 化简：_；_；_【解析】 ；2. 化简求值：；若，则_；若，则_【解析】 ；，经典精讲【例1】 计算下列各式（式中每个字母均为正数）； 设，那么的值是（ ）A B C D【解析】 ；5.2指数函数及其性质知识点睛指数函数：
3、一般地，函数，叫做指数函数【教师备案】指数函数定义的讲解：定义域 ：因为指数的概念已经扩充到实数，所以在底数的前提下，可以是任意实数 规定底数且的理由是：如果，当时，恒等于零 ；当时，无意义；如果，比如，这时对于等，都无意义；如果，对于任何实数，是一个常量，对它就没有研究的价值和必要了.指数函数的性质：图象定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数【教师备案】指数函数的图象与性质的讲解 当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论 当时，；当时， 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快；当时，的值越大，图象越靠近轴，递增的速度越快； 熟悉指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对
4、位置与底数大小的关系在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.考点2：指数函数的图象经典精讲【例2】 已知指数函数的图象经过点，求，的值函数（且）必过定点_.在下图中，二次函数与指数函数的图象只能是（ ）【解析】 ， A【方法规律】当两个函数的图象在同一坐标系内，判断其正确选项时，首先要使两个函数中的字母的取值在图象上一致（矛盾的淘汰），然后如果还确定不出唯一的正确选项，再考虑各特征数据的范围考点3：幂的大小比较【方法总结】幂的大小比较的方法比较大小常用方法有：比差（商）法：函数单调性法；中间值法：要比较与的大小，先找一个中间值，再比较与、与的大小，由
5、不等式的传递性得到与之间的大小在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较 对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可暑假知识回顾1. 三个数1，的大小顺序是（ ）ABCD【解析】 B2. 已知，比较下列各组数的大小：； ；【解析】 ； ； ； 经典精讲【例3】 设，则（ ）ABCD比较下列各组数的大小 ，
6、（且）； ，； ，【解析】 D 当时，；当时，；考点4：指数函数图象的变换规律【教师备案】平移规律若已知的图象，则把的图象向左平移个单位，则得到的图象，把的图象向右平移个单位，则得到的图象，把的图象向上平移个单位，则得到的图象，向下平移个单位，则得到的图象对称规律函数的图象与的图象关于轴对称，的图象与的图象关于 轴对称，函数的图象与的图象关于坐标原点对称经典精讲【铺垫】已知，利用图象变换作出下列函数的图象：；【解析】 以图象为依据，经过平移、对称变换画出各自的图象，如图所示： 【教师备案】指数函数是我们在高中课本上第一次遇到有渐近线的函数，所以老师在给学生讲指数函数的图象平移的时候一定要注意渐
7、近线，尤其是向上和向下平移的时候，有渐近线的限制，所以值域会受到限制【例4】 函数的图象（ ）A与的图象关于轴对称 B与的图象关于坐标原点对称C与的图象关于轴对称 D与的图象关于坐标原点对称若函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）A且 B且C且 D且（2013北京理5）函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则（ ）ABCD【解析】 DC D5.3与指数函数相关的复合函数的性质考点5：与指数函数相关的基本性质【教师备案】在暑假的时候我们只讲了外层是指数函数的复合函数的定义域、值域、单调性的问题，秋季我们将重点讲解内层是指数函数的复合函数的定义域、值域、单调性、奇
8、偶性的问题，对于考点5我们不涉及与二次函数的复合，因为下边的考点6将单独研究与二次函数复合暑假知识回顾求下列函数的定义域和值域：；【解析】 定义域为，值域为定义域为，值域为经典精讲【例5】 函数的定义域为 ，值域为_函数的定义域为 ，值域为_；函数的定义域为 ，值域为_ 设函数，若，则实数的取值范围是 函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）ABCD若是奇函数，则_【解析】 ，；，；，；B；【例6】 已知函数 求的定义域，值域； 证明为奇函数； 讨论的单调性【解析】 定义域为值域为 ，为奇函数 法一：用定义证明单调性设任意，则，为上的增函数法二：利用复合函数的单调性，在上单调递增，且；在上单调递
9、增，故它们复合后得到的在上单调递增【拓展】已知，若，求： 的值； 的值【解析】 ； 考点5：指数函数与二次函数的复合【教师备案】本考点重点考查外层是二次函数，内层是指数函数的复合函数，对于外层是指数函数的复合函数老师可以借助暑假知识回顾给学生讲解暑假知识回顾1. 函数的单调增区间为（ ）A B C D【解析】 B2. 求函数的定义域、值域和单调区间【解析】 定义域为，值域为，单调减区间是，单调增区间是3. 求函数（，且）的单调区间【解析】 时，在上是增函数，在是减函数；时，在上是减函数，在是增函数经典精讲【铺垫】函数，求在上的最小值函数，求在上的最小值【解析】 在上最小值为在上最小值为【例7】
10、 求函数的单调区间及其值域如果函数在区间上的最大值是，求的值 【解析】 函数的递增区间为，递减区间为，函数的值域为 的值为或设，当时，的图象在轴上方，求的取值范围【解析】 本题等价于当时，恒成立恒成立令，问题等价于求令，在上是减函数当，则即为所求实战演练【演练1】化简： ； 【解析】 ；【演练2】函数的图象为( ) A B C D【解析】 D【演练3】(2010重庆理5)函数的图象（ ）A关于原点对称B关于直线对称C关于轴对称D关于轴对称【解析】 D【演练4】若函数是上的单调减函数，则实数的取值范围是（ ）A B CD【解析】 B【演练5】设，若为奇函数，则_【解析】 【演练6】已知，求函数的最大值和最小值【解析】 的最大值为，最小值为大千世界（2009上海高中数学竞赛第6题）不等式的解集是 【解析】首先，不等式转化为，所以，解得59第5讲教师版
