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1、通过定价部分，准备得到以下结论：1、因为期货有做市商制度、保证金制度等，期货定价与远期定价在理论上是不同的，利率是常数时两者相等。2、数据验证表明，二因素和三因素明显优于单因素，期货定价与现实更接近3、时间差，期权到期日T与期货到期日T1、T2.Tn之间的时间间隔对定价有显著影响。4、数据验证，一系列期货期权与期货系列期权的区别目录一、准备工作21、期货和远期定价的比较22、分别用单、二、三因素模型对期货定价43、数据验证部分（得到一些参数）6二、商品期货系列期权（futures strip option）的定价模型71、商品互换和商品互换期权定价问题72、HJM框架下单因素模型定价133、H
2、JM框架下两因素模型定价154、HJM框架下三因素模型定价165、HJM框架下的近似解法196、数据实证20三、定价模型及数据验证的结论（准确度，应用情况等）23一、准备工作1、期货和远期定价的比较期货和远期定价是两个比较流行的理论，两者价格的不同之处在于期货有做市制度，并且其持有成本也是不同的，包括税务处理、交易成本、保证金制度等方面。经验交易数据也能够验证商品期货和远期的价格是不同的。所以，一般期货合约常被看做由一系列的远期合约组成，每个远期合约当天被结算，并且同时再发行一个新的远期合约，而投资者账户的损益每日轧平。期货与远期价格在统计意义上是显著的，但两者价差一般比较小或者在经济意义上不
3、显著。并且一般来说，如果利率是随机的，并且利率和商品现货价格正（负）相关时，期货价格就大于（小于）远期价格，当利率是常数时两者相等。假设现货价格满足几何布朗运动，有，其中是服从标准布朗运动的独立同分布，是期望收益率常数，是的波动率，将上式离散化为k个阶段，有： （1）是k+t时刻的现货价格。两边同取自然对数，并调整有： （2） 可见，现货价格自然对数的变化服从一个随机过程，它等于一个常量加上独立分布 的残差。1.1 商品远期的定价应用远期和现货价格的无套利定价原理进行定价，是t时刻可存储商品的现货价格， 是t时刻的远期价格，其到期时间为t+K，是在t+K时刻一美元在t时刻的贴现值，是t到t+k
4、时间存储成本，记， ，其中是t时刻k时间段的利率，是t到t+k净持有成本，通过无套利原理，有以下关系： （3）其中是持有成本。上式说明，远期价格等于现货价格的调整，即除以当前到到期日的无风险债券价格和净持有成本的比率。 值得注意的是，投资者应该区分以下两点：一是买入现货并持有，产生存储成本和收到便利收益率；二是当前即以远期价格买入商品并以无风险收益率进行投资。 上式两边取自然对数有 （4） 将（4）带入（2），得到： （5）即当前的远期价格与现货价格的对数差由三部分组成：一是期望变量，其大小取决于相关参数的大小；二是利率和持有成本的差；三是服从的独立同分布变量的变化量。1.2 商品期货的定价期
5、货和远期的价格从理论角度是不同的，特别的，在对效用函数和风险偏好没有具体假设的情况下，很难求解出期货价格的封闭收敛的解。国外交易所市场上有文献表明，如果利率过程和持有成本的某些假设给定的情况，公式（3）对期货价格也是适用的。假设现货定价的公式（1）中，假设前两个变量和分别代表利率和现货价格，现货价格不确定的唯一来源。另外还假设净持有成本是常量，利率过程符合以下形式：其中（6）以及公式（6）还可以写成以下形式 其中是t时融入资金在t+K归还的远期利率，是的波动率方差，是风险的市场价格，是独立的布朗运动。公式（6）是融资的远期利率，等于一个固定非随机的初始远期利率初值（一个外生变量），加上一个期望
6、变量和噪音。设是t+k到期的t时刻的期货合约的价格，有文献表明（），上边的假设成立并且还假设资产和利率过程具有确定的“波动率参数”，期货价格的封闭解可以表达为： （7）其中 两边取自然对数，有重新整理并带入（2）有其中是一个常数项，因为它反映了做市调整所以是不变的。远期合约定价公式（）和期货定价公式的明显不同之处在于后者增加了一个非随机项，反映了做市对于期货合约的影响。2、分别用单、二、三因素模型对期货定价应用“Schwartz 97”对期货进行定价假设商品现货价格服从以下随机过程令，并应用伊藤引理，价格的对数服从Ornstein-Uhlenbeck随机过程：其中k0衡量价格的对数均值恢复到a
7、的速度，因为变量X是不可见的，转化为状态空间形式，利用卡尔曼滤波进行参数求解。在计量经济学中状态空间模型被用来估计不可观测的时间变量，包括理性预期、测量误差、长期收入和不可观测因素（趋势和循环要素）。利用状态空间形式表示动态系统的优点：一是状态空间模型将不可观测的变量并入可观测模型并与其一起得到估计结果，二是状态空间模型是利用强有力的迭代算法卡尔曼滤波（Kalman filter）来估计的。卡尔曼滤波的导出依赖于扰动项和初始状态向量服从正太分布的假设。服从正态分布，就可以由它们的均值和协方差矩阵完全确定，这就是卡尔曼滤波计算的估计值。3、数据验证部分1、主要利用单因素、二因素和三因素方法对期货
8、进行定价，求解一些参数，用到后面的期货系列期权的定价中。2、数据验证二因素和三因素模型定价与真实数据的更接近，明显优于单因素模型。二、商品期货系列期权（futures strip option）的定价模型 对于期货期权一类短期的金融工具，可近似地把商品便利收益看作是常数，但对于像互换这样长期的金融工具来说，这种假设是不合理的。对于利率，已经建立了许多模型，例如CIS模型，Merton 模型，Vascek 模型等。类似的，我们可以通过便利收益率，建立与利率模型类似的各种模型来进行模拟。Mitersen 和Schwartz 对具有便利收益的商品期货及商品期货期权的定价作了分析，他们对利率和便利收益
9、率都采用了HJM 模型，但他们假定了利率和便利收益率受相同的不确定性的影响。在实际中由于期货合约和远期合约都是短期的，所以不可能得到与初始的便利收益比较吻合的模型。Hilliard 和Reis 对商品期货和商品期货期权也作了分析，他们对利率采用了HJM 模型，对便利收益率采用Vas1cek 模型。周杰和何穗在对商品互换和商品互换期权的定价中对利率和便利收益都采用了Vasicek 模型。得到了互换和互换期权在不同的模型下的定价，并得到结论: 利率的随机性对互换的定价是无影响的。Black模型到HJM模型，高斯模型，解析解、Monte Carlo，快速傅里叶变换1、商品互换和商品互换期权定价问题假
10、设投资者A与对手签订了这样一个互换协议：在每一个到期日， 由A支付一个固定的价格给对方，而对方支付一个那个时刻的即时价格或者说浮动价格给A。 商品互换合约在签订时刻的价值是为0的，商品互换的定价问题就是确定这个固定价格的问题。假设投资者B与对手签订了这样一个互换期权协议：期权的执行价格是K, 期权的到期日时。在时刻，如果互换的价值大于等于0, B就进入这样一个互换，在每一个到期日， 由B支付一个固定的价格给对方，而对方支付一个那个时刻的即时价格或者说浮动价格给B。如果互换的价值小于0,那么期权就失去价值。 商品互换期权的定价问题就是这个期权的价值。假设现在的时刻是 t，满足t 。用表示在时刻看
11、，时刻到期的远期或期货的价格，用Q表示份额或者名义本金，用表示折现率，那么时刻的互换价值是：在时刻期权到期，此时互换的价值： 就等于对于实物交割的互换期权，也就是说在期权到期日，期权的持有者进入互换，并拥有长头寸。如果是看涨期权，那么投资者将进入一个收入互换，也就是付出固定价格，收入浮动价格；如果是看跌期权，那么投资者将进入一个付出互换，也就是付出浮动价格，收入固定价格。一个实物交割的看涨期权的收益是：，对于现金交割的互换期权，也就是说在期权到期日，期权的持有者获得一个现金收益。如果是看涨期权，现金收益的价值就是收入浮动价、付出固定价的互换的价值；如果是看跌期权，现金收益的价值就是付出浮动价、
12、收入固定价的互换的价值。一个现金交割的看涨期权的收益是：，在一个完全市场中，期权的无套利价格是风险中性测度下的期望值： 对看涨互换期权来说，就是:1.1布莱克模型不考虑商品的便利收益，对商品价格建立一个简单的模型：在风险中性测度里，期货价格SDE: 是标准布朗运动，是波动率。在风险中性世界里，期货价格的增长率是0. 那么，期货价格的期望值就是现在的期货价：又因为期货价格最终要收敛于现货价格，也满足：当利率是常数时，满足，1.1.1 实物交割的互换期权期权的持有方在T时刻，获得一系列期货的长头寸：，将代入, 得到这个期权就是份执行价为的欧式看涨期权。令代入BS公式可得到看涨看跌期权的价格分别是：
13、实物交割的互换期权，还可以利用这个关系：, 我们将实物交割的看涨互换期权在T时刻的收益写作： 如果我们令布莱克的期货期权公式，这是 份额的，执行价为 的期货期权1.1.2 现金交割的互换期权期权的持有方在T时刻，获得一系列期货的长头寸和一个收益：既然期货的长头寸的价值为0，在为期权定价时，便可忽视之。将代入, 就得到这个期权就是份执行价为的欧式看涨期权。代入BS公式可得到：还可以利用这个关系：, .参考布莱克的期货期权公式，这是 份额的，执行价为 的期货期权并将Black模型扩展到框架下, MILTERSEN和SCHWARTZ三因素模型MILTERSEN和SCHWARTZ提出了即期商品价格，远
14、期利率和便利收益率的三因素模型。在假设商品价格遵从对数正态分布，利率和便利收益率为正态分布时，给出了类似BSM模型的解析解。他们也意识到商品价格走势具有均值回归特性，利用商品价格和便利收益率的正相关性给出了解释.2、HJM框架下单因素模型定价所谓单因素模型，也就是在假设商品的便利收益率和利率都是常数的前提之下，对商品的价格建立一个随机微分方程，从而得到商品互换期权的价格。 假设商品价格服从如下几何布朗运动：其中：常数r为利率，为商品的便利收益率，为商品价格的波动率，为标准维纳过程。假设存在一个风险中性世界，即存在一个与风险测度P等价的测度Q，在这个测度下，所有的价格过程在经过贴现过程后在Q下是鞅：，当利率是常数r 时，在Q测度下，过程变成：若现在时刻，投资者买入一份看涨的实物交割的互换期权，假设期权在T时刻到期，则在T时刻，该互换对于的价值为 在T时刻开始的互换，如果让合约价值等于0， 也就是这就是互换的价格。其互换期权在T时刻的价值为：故将代入, 得到令代入BS公式可得到看涨看跌期权的价格分别是： 3、
