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1、经典例题透析类型一：比较法证明不等式1、用作差比较法证明下列不等式： （1）；（2） (a，b均为正数，且ab)思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。证明：（1） 当且仅当a=b=c时等号成立， （当且仅当a=b=c取等号）.（2） a0, b0, ab, a+b0, (a-b)20, ， .总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。举一反三：【变式1】证明下列不等式：(1)a2+b2+22(a+b)(
2、2)a2+b2+c2+32(a+b+c)(3)a2+b2ab+a+b-1【答案】（1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)20 a2+b2+22(a+b)（2）证法同（1）（3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=( a-b)2+(a-1)2+(b-1)20 2（a2+b2）2（ab+a+b-1)，即a2+b2ab+a+b-1【变式2】已知a，b，x，y，且a+b=1，求证：ax2+by2(ax+by)2【答案】ax2+by2-(ax+by)2=ax2+by2-a
3、2x2-b2y2-2abxy=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy=ab(x-y)20ax2+by2(ax+by)22、用作商比较法证明下列不等式： （1） (a，b均为正实数，且ab)（2）（a，b，c，且a，b，c互不相等）证明：（1）a3+b30, a2b+ab20. ， a, b为不等正数， （2）证明： 不妨设abc，则 所以，总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。举一反三：【变式1】已知a2，b2，求证：a+b2，b
4、2【变式2】已知a，b均为正实数，求证：aabbabba【答案】a0, b0, aabb与abba均为正，分类讨论可知（分ab0, a=b0, 0a6abc证明：法一：由b2+c22bc, a0,得a(b2+c2)2abc，同理b(c2+a2)2abc，c(a2+b2)2abca,b,c不全相等，上述三个等号不同时成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.法二：a，b，c是不全相等的正数，a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均为正数，由三个数的平均不等式得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)不等式成立.总结升华：综合
5、法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。举一反三：【变式1】a , b, mR+，且ab，求证：.【答案】0a0, ambm,am+abbm+ab, 即a(b+m)0, .【变式2】求证lg9lg110, lg110, , lg9lg11b0，求证：.思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.证明：， ab0, a-b0, b0, , ,（当且仅当，即a=2，b=1的等号成立）举一反三：【变式】x, y,zR+, 求证：证明： x, y,zR+, ,同理 ， , 类型
6、三：分析法证明不等式5、已知a,b0，且2ca+b，求证：证明：要证，只需证：即证：，a2-2ac+c2c2-ab，即证a2+ab0，只需证a+ba2b+ab2(a，b均为正数，且ab)【答案】要证a3+b3a2b+ab2，即证(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b)a，b，a+b0只需证a2+b2-abab，只需证a2+b22ab只需证(a-b)20，(a-b)20显然成立所以原不等式成立。【变式2】a , b, mR+，且a0且b+m0,，成立.【变式3】求证：【答案】要证，只需证，只需证，只需证，而显然成立，所以原不等式得证。【变式4】若a1，b1，c1，ab=10求证：logac+
7、logbc4lgc【答案】要证logac+logbc4lgc，只需证只需证，只需证，成立所以原不等式成立【变式5】设x0，y0，xy，求证：证明：要证，只需证只需证只需证因x0，y0，xy，所以x2y23(x-y)2+4xy0成立所以类型四：反证法证明不等式6、已知a,b,c(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于。思路点拨：此题目若直接证，从何处入手？对于这样正面情况较为复杂的问题，可以考虑使用反证法。证明：假设原结论不成立，即，则三式相乘有：又0a,b,c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0【答案】假设a0若a0，bc0，则b+c-a0a
8、b+bc+ca=a(b+c)+bc0矛盾，必有a0同理可证：b0，c0类型五：放缩法证明不等式7、若a,b,c,dR+，求证：思路点拨：记中间4个分式之和的值为m，显然，通过通分求出m的值再与1、2比大小是困难的，可考虑运用放缩法把异分母化成同分母。证明：记a,b,c,dR+，1m2，即原式成立。总结升华：证后半部分，还可用“糖水公式”，即进行放缩。常用的放缩技巧主要有： f(x)为增函数，则f(x-1)f(x)2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)2，logn(n-1)0，logn(n+1)0n2时，logn(n-1)logn(n+1)2，b2，求证：a+bab证明：令y=f(a)=a+b-ab=(1-b)a+b，1-b2时，f(a)f(2)=2-b0 a+bab总结升华：不等式证明方法很灵活。分析不等式的结构特点，构造函数，借助函数单调性，使问题变得非常简单。举一反三：【变式】已知a3，求证：。【答案】令（x0).f(x)在x0,+)上是递减函数，f(a-1)1，y1，求证：证明：设则12、已知：a1,b0，a-b=1，求证：证明：a1,b0,a-b=1，不妨设则总结升华：若0x1，则可令若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin (02)若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan (00，y0，2x+y=1，求证：【答案】由x0
