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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第卷（选择题 共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分（1）【2014年上海，理1，4分】函数的最小正周期是 【答案】【解析】原式，（2）【2014年上海，理2，4分】若复数，其中是虚数单位，则 【答案】【解析】原式（3）【2014年上海，理3，4分】若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 【答案】【解析】椭圆右焦点为，即抛物线焦点，所以准线方程（4）【2014年上海，理4，4分】设，若，则的取值范围为 【答案】【解析】根据题意，
2、（5）【2014年上海，理5，4分】若实数，满足，则的最小值为 【答案】【解析】（6）【2014年上海，理6，4分】若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）【答案】【解析】设圆锥母线长为，底面圆半径为，即，即母线与底面夹角大小为（7）【2014年上海，理7，4分】已知曲线的极坐标方程为，则与极轴的交点到极点的距离是 【答案】【解析】曲线的直角坐标方程为，与轴的交点为，到原点距离为（8）【2014年上海，理8，4分】设无穷等比数列的公比为，若，则 【答案】【解析】，（9）【2014年上海，理9，4分】若，则满足的的取值范围是 【答案】【解析】，结合幂函数
3、图像，如下图，可得的取值范围是（10）【2014年上海，理10，4分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是 （结果用最简分数表示）【答案】【解析】（11）【2014年上海，理11，4分】已知互异的复数满足，集合，则 【答案】【解析】第一种情况：，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：，即（12）【2014年上海，理12，4分】设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则 【答案】【解析】化简得，根据下图，当且仅当时，恰有三个交点，即（13）【2014年上海，理13，4分】某游戏的得分为，随机变量表示小白玩该游戏的得分若，则小白得分的概率至少为
4、【答案】【解析】设得分的概率为，且，与前式相减得：，即（14）【2014年上海，理14，4分】已知曲线，直线 若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为 【答案】【解析】根据题意，是中点，即，二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分（15）【2014年上海，理15，5分】设，则“”是“且”的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件【答案】B【解析】充分性不成立，如，；必要性成立，故选B（16）【2014年上海，理16，5分】如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一
5、条侧棱， 是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）8【答案】A【解析】根据向量数量积的几何意义，等于乘以在方向上的投影，而在方向上的投影是定值，也是定值，为定值，故选A（17）【2014年上海，理17，5分】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ） （A）无论如何，总是无解 （B）无论如何，总有唯一解 （C）存在，使之恰有两解 （D）存在，使之有无穷多解【答案】B【解析】由已知条件，有唯一解，故选B（18）【2014年上海，理18，5分】设 若是的最小值，则的取值范围为（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D
6、【解析】先分析的情况，是一个对称轴为的二次函数，当时，不符合题意，排除AB选项；当时，根据图像，即符合题意，排除C选项，故选D三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤（19）【2014年上海，理19，12分】底面边长为的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图求的各边长及此三棱锥的体积解：根据题意可得共线，同理，是等 边三角形，是正四面体，所以边长为4；（20）【2014年上海，理20，14分】设常数，函数（1）若，求函数的反函数；（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由解：（1）， ， 6分（2）若为偶函数，则，整理得，此时为偶函，
7、若为奇函数，则，整理得，此时为奇函数，当时，此时既非奇函数也非偶函数 14分（21）【2014年上海，理21，14分】如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长米 设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为和（1）设计中是铅垂方向 若要求，问的长至多为多少（结果精确到米）？（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差现在实测得，求的长（结果精确 到米）解：（1）设的长为米，则， ，解得，的长至多为米 6分 （2）设，则，解得的长为米 14分（22）【2014年上海，理22，16分】在平面直角坐标系中，对于直线和点，记 若，则称点被直线分割 若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线
8、分割，则称直线为曲线的一条分割线（1）求证：点被直线分割；（2）若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线解：（1）将分别代入，得， 点被直线分割 3分（2）联立，得，依题意，方程无解，或8分（3）设，则，曲线的方程为 当斜率不存在时，直线，显然与方程联立无解，又为上两点，且代入，有，是一条分割线；当斜率存在时，设直线为，代入方程得：，令，则，当时，即在之间存在实根，与曲线有公共点当时，即在之间存在实根，与曲线有公共点，直线与曲线始终有公共点，不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线 16分（23）【2014年上海，理23，18分】已知数列满足，（1）若，求的取值范围；（2）设是公比为的等比数列， 若，求的取值范围；（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差解：（1）依题意，又，综上可得3分（2）由已知得，又， 当时，即，成立； 当时，即， ，此不等式即， 对于不等式，令，得，解得，又当时，成立，当时，即，即，时，不等式恒成立，综上，的取值范围为 10分（3）设公差为，显然，当时，是一组符合题意的解，则由已知得，当时，不等式即，时，解得，的最大值为，此时公差 18分5
