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1、河南省郑州市2015届高三第一次质量预测数学(文)试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,考试时间120分钟,满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效,交卷时只交答题卡第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题,那么是( )A. B. C. D. 2.已知集合,若,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 3. 设是虚数单位,若复数是纯虚数,则的值为( )A. B. C.1 D.34.已知点是抛物线上一点,焦点为,则( )A. 100 B.20
2、0 C.360 D.4005.已知数列是等差数列,其前项和为,若,且,则( )A. 2 B.3 C.4 D.56.已知长方体的底面是边长为1的正方形,高为,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,则该长方形的正视图的面积等于( )A.1 B. C.2 D. 7.如图所示的程序框图中,若,且恒成立,则的最大值是( )A. 0 B. 1 C. 3 D. 48.已知点的坐标满足条件,则的最大值为( )A. 17 B.18 C. 20 D.219.已知定义在上的函数满足,是的导函数,且函数的图象如右图所示,则不等式的解集是( )A. B. C. D. 10.已知函数的部分图象如图所
3、示,点是该图象与轴的交点,过点的直线与该图象交于两点,则的值为( )A. B. C. D. 211. 设函数的定义域为,若对于任意的,当时,恒有,则称点为函数图象的对称中心.研究函数的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到( )A. 0 B. 2014 C. 4028 D. 403112.在中,是斜边上的两个动点,且,则的取值范围为( )A. B. C. D. 第II卷本试卷包括必考题和选考题两部分,第13-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22-24题为选考题,学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分.13. 已知数列是等比数列,若,则 14. 我市某校组
4、织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为,若低于60分的人数是15人,则该班的人数是 15. 已知,那么 16.给定方程:,下列命题中:该方程没有小于0的实数解;该方程有无数个实数解;该方程在内有且只有一个实数根;若是方程的实数根,则. 正确命题是 三、解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)在中,角、的对边分别为,且满足,边上中线的长为.(I)求角和角的大小;(II)求的面积.18.(本小题满分12分)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球,球上分别标有数字1、2、3、4、5.甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小
5、球放回箱子中摇匀后,乙从该箱子中摸出一个小球.(I)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局),求甲获胜的概率;(II)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜,否则乙获胜,这样规定公平吗?19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,底面,为的中点,为棱的中点.(I)证明:平面;(II)已知,求点到平面的距离.20.(本小题满分12分)已知动点到定点和直线的距离之比为,设动点的轨迹为曲线,过点作垂直于轴的直线与曲线相交于两点,直线与曲线交于两点,与线段相交于一点(与不重合)(I)求曲线的方程;(II)当直线与圆相切时,四边形的面积是否有最大值,若有,
6、求出其最大值,及对应的直线的方程;若没有,请说明理由.22. (本小题满分12分)设是实数,函数.(I)讨论函数的单调区间;(II)设定义在上的函数在点处的切线方程为,当时,若在内恒成立,则称点为函数的“平衡点”. 当时,试问函数是否存在“平衡点”?若存在,请求出“平衡点”的横坐标;若不存在,请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图所示,交圆于两点,切圆于,为上一点且,连接并延长交圆于点,作弦垂直,垂足为.(I)求证:为圆的直径;(II)若,求弦
7、的长.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数),直线和圆交于两点,是圆上不同于的任意一点.(I)求圆心的极坐标;(II)求面积的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数.(I)当时,求不等式的解集;(II)若二次函数与函数的图象恒有公共点,求实数的取值范围.2015年高中毕业年级第一次质量预测文科数学 参考答案一、选择题1-12: CAAD ACCB BDDB二、填空题13.96;14.50;15.;16.2,3,4.三、解答题17解:(1).由得 4分由,
8、得. 故6分 (2).设,由余弦定理得,8分解得,10分故 12分18.解:用(表示甲摸到的数字,表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件有:、共25个; 4分(1).设:甲获胜的的事件为A,则事件A包含的基本事件有:、,共有10个;6分则 .8分(2).设:甲获胜的的事件为B,乙获胜的的事件为C. 事件B所包含的基本事件有:、,共有10个;则,10分所以. 11分因为,所以这样规定不公平. 12分19.解:(1).连结交于,连结,因为,为的中点,所以为的中点2分当为的中点,即时,为的中位线,故,又平面,所以平面.5分(2).由(1)可知,平面,所以点到平面的距离等于点到
9、平面的距离,所以,取的中点,连结,所以,7分又底面,所以底面.又,所以,10分所以. 11分则点到平面的距离=12分20.解:(1).设点,由题意可得,2分整理可得:.曲线的方程是.5分(2).设,由已知可得:,当时,不合题意.当时,由直线与圆相切,可得:,即联立消去得7分,所以,=10分当且仅当,即时等号成立,此时经检验可知,直线和直线符合题意. 12分21.解:(1)当时,在上恒成立;2分当时,在时,当时,所以,当时,的减区间为(0,+);4分当时,的减区间为,增区间为. 6分(2)设为函数图像上一点,则函数在点处的切线方程为:即:.8分令,则,因为所以,当时,当时,即函数在上为减函数,在
10、上为增,所以,10分那么,当时,; 当时, 因此,函数在不存在“平衡点”. 12分22证明:(1)因为,所以.由于为切线,故,2分又因为,所以,所以,从而.4分又所以,所以,故为圆的直径5分(2)连接BC,DC.由于AB是直径,故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中,ABBA,ACBD,从而得RtBDARtACB,于是DABCBA. 7分又因为DCBDAB,所以DCBCBA,故DCAB. 8分因为ABEP,所以DCEP,DCE为直角,9分所以ED为直径,又由(1)知AB为圆的直径,所以.10分23.解:()圆的普通方程为,即2分所以圆心坐标为(1,-1),圆心极坐标为;5分()直线的普通方程:,圆心到直线的距离,7分所以点直线距离的最大值为9分.10分24.解:()当时,3分由易得不等式解集为;5分(2)由二次函数,该函数在取得最小值2,因为在处取得最大值,7分所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点,只需,即.10分