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1、河南省郑州市2015届高三第一次质量预测数学（文）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题，那么是( )A. B. C. D. 2.已知集合，若，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 3. 设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为( )A. B. C.1 D.34.已知点是抛物线上一点，焦点为，则（ ）A. 100 B.20
2、0 C.360 D.4005.已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则（ ）A. 2 B.3 C.4 D.56.已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方形的正视图的面积等于（ ）A.1 B. C.2 D. 7.如图所示的程序框图中，若，且恒成立，则的最大值是（ ）A. 0 B. 1 C. 3 D. 48.已知点的坐标满足条件，则的最大值为（ ）A. 17 B.18 C. 20 D.219.已知定义在上的函数满足，是的导函数，且函数的图象如右图所示，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 10.已知函数的部分图象如图所
3、示，点是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于两点，则的值为（ ）A. B. C. D. 211. 设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到( )A. 0 B. 2014 C. 4028 D. 403112.在中，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 第II卷本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13. 已知数列是等比数列，若，则 14. 我市某校组
4、织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是15人，则该班的人数是 15. 已知，那么 16.给定方程：，下列命题中：该方程没有小于0的实数解；该方程有无数个实数解；该方程在内有且只有一个实数根；若是方程的实数根，则. 正确命题是 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在中，角、的对边分别为，且满足，边上中线的长为.（I）求角和角的大小；（II）求的面积.18.(本小题满分12分)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小
5、球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.（I）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（II）若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，为的中点，为棱的中点.（I）证明：平面；（II）已知，求点到平面的距离.20.（本小题满分12分）已知动点到定点和直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线与曲线交于两点，与线段相交于一点（与不重合）（I）求曲线的方程；（II）当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值，若有，
6、求出其最大值，及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.22. （本小题满分12分）设是实数，函数.（I）讨论函数的单调区间；（II）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“平衡点”. 当时，试问函数是否存在“平衡点”？若存在，请求出“平衡点”的横坐标；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图所示，交圆于两点，切圆于，为上一点且，连接并延长交圆于点，作弦垂直，垂足为.（I）求证：为圆的直径；（II）若，求弦
7、的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线和圆交于两点，是圆上不同于的任意一点.（I）求圆心的极坐标；（II）求面积的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.2015年高中毕业年级第一次质量预测文科数学 参考答案一、选择题1-12: CAAD ACCB BDDB二、填空题13.96；14.50；15.；16.2,3,4.三、解答题17解：(1).由得 4分由，
8、得. 故6分 (2).设，由余弦定理得，8分解得，10分故 12分18.解：用（表示甲摸到的数字，表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：、共25个； 4分(1).设：甲获胜的的事件为A，则事件A包含的基本事件有：、，共有10个；6分则 .8分(2).设：甲获胜的的事件为B，乙获胜的的事件为C. 事件B所包含的基本事件有：、，共有10个；则，10分所以. 11分因为，所以这样规定不公平. 12分19.解：(1).连结交于，连结，因为，为的中点，所以为的中点2分当为的中点，即时，为的中位线，故，又平面，所以平面.5分(2).由(1)可知，平面，所以点到平面的距离等于点到
9、平面的距离，所以，取的中点，连结，所以，7分又底面，所以底面.又，所以，10分所以. 11分则点到平面的距离=12分20.解：(1).设点，由题意可得，2分整理可得：.曲线的方程是.5分(2).设，由已知可得：，当时，不合题意.当时，由直线与圆相切，可得：，即联立消去得7分，所以，=10分当且仅当，即时等号成立，此时经检验可知，直线和直线符合题意. 12分21.解：（1）当时，在上恒成立；2分当时，在时，当时，所以，当时，的减区间为(0,+)；4分当时，的减区间为，增区间为. 6分（2）设为函数图像上一点，则函数在点处的切线方程为：即：.8分令，则，因为所以，当时，当时，即函数在上为减函数，在
10、上为增，所以，10分那么，当时，； 当时， 因此，函数在不存在“平衡点”. 12分22证明：(1)因为，所以.由于为切线，故，2分又因为，所以，所以，从而.4分又所以，所以，故为圆的直径5分(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，从而得RtBDARtACB，于是DABCBA. 7分又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB. 8分因为ABEP，所以DCEP，DCE为直角，9分所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以.10分23.解：()圆的普通方程为，即2分所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为；5分()直线的普通方程：，圆心到直线的距离，7分所以点直线距离的最大值为9分.10分24.解：（）当时，3分由易得不等式解集为；5分（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，因为在处取得最大值，7分所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需，即.10分
