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1、6 - 3 厄米算符的对易关系一 算符的一般运算规则和对易式 1 、 算符之和与积1 ) 单位算符I对于任意的波函数，有 . (6. 42)2 ) 算符和相等如果对于任意的波函数y,都有, 则有. (6. 43)3 ) 算符与之和对于任意的波函数y，有 . (6. 44) 显然： , (满足交换律) ,(满足结合律)可证: 两个线性算符之和仍为线性算符. 两个厄米算符之和仍为厄米算符。4 ) 算符与之积对于任意的波函数y，有. (6. 45) 问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？研究两个算符作用是否与次序有关？ 2、 对易式及其满足的恒等式算符之积一般并不满足交换律，即 . 对易式的定义 .
2、 (6. 46)若，则称算符与对易；若 0，则称算符与不对易。 两个厄米算符之积一般并不是厄米算符，除非这两个厄米算符可对易。具体而言，若，则有 , (6. 47)只有当或时，才有 ,这时两个厄米算符与的积才是厄米算符。 对易式满足下列恒等式：, , (6. 48) . 3、 逆算符若由 能够唯一地解出y，则有 .若算符的逆算符存在，则有 .可以证明，若与的逆算符均存在，则有. (6. 49)二 学的基量子力本对易式1、 动量算符的各个分量之间可对易, , .由坐标表象中的动量算符为 立即可证. 2、 量子力学的基本对易式（位置算符和动量算符各分量之间的对易式，重要！）, (6.50)其中或1
3、, 2, 3，这里用了克罗内克符号 .可见，动量算符的各个分量只与位置算符的不同分量对易, , , ,;动量算符的相同分量之间是不可对易的 .凡与经典力学量相对应的力学量之间的对易关系，均可由此导出。显然，克普朗常量在力学量的对易关系中起着关键性的作用。证明:考虑坐标算符x和动量算符的x分量. 对于任一波函数y，有, .将以上两式相减，得.由于y 是体系的任意波函数，所以有.其它等式与此类似证明。（典型证法，要掌握）三 角动量算符各分量之间的对易式1、角动量算符各分量之间 , , ， (6. 51)2、角动量算符平方与各分量之间. (6. 52)3、角动量算符各分量与空间坐标分量之间, , ,
4、 （6. 53）, .由以上各式可以归纳出以下规则：从左到右，以依次循环指标为正，任一指标“错位”则为负，相同指标则为零。4、角动量算符各分量与动量坐标分量之间有类似（6. 53）的关系。5、若令 , (6. 54)则有 , (6. 55) . (6. 56)例题21. 2 试证明对易式.（要掌握）证明 利用基本对易式(21. 66)和对易式恒等式(21. 64)，可以得到 .例题21. 3 试证明角动量算符三分量之间的对易式(21. 67) （要掌握）。解 利用基本对易式(21. 66)和对易式恒等式(21. 64)，可以得到 ,同理可得： , .以上三个关于分量的对易式，在形式上可以合写成
5、一个矢量公式：, (21. 76)上式可以看成是角动量算符的定义式，是经典物理学中根本不可能存在的关系式。在经典物理学中，所有物理量都是可对易的，因此对任何矢量A总有A A = 0. 然而，在量子力学中，角动量算符的各分量互不对易，满足式(21. 76)，由此决定了角动量的一系列异乎寻常的性质。6-4 共同本征函数(量子力学中的核心问题)一 不同力学量同时有确定值的条件和共同本征函数通常，对大量的、完全相同的、均处在用波函数y 描述的状态体系的集合多次测量力学量A，然后对所得的结果求平均，则将会得一个平均值。每一次测量的结果将围绕平均值有一个涨落. (6. 57)若令, (6. 58)对于任意
6、两个力学量A和B，普遍的不确定关系为（省略证明）. (6. 59)可见：如果A,B0，则一般来说DA和DB不可能同时为零，即A与B不可能同时具有确定值，或者说，它们不可能具有共同本征态。如果A,B=0，则可以找到使DA=0和DB=0同时得到满足的态，即可以找到这两个算符的共同本征态。可以证明，一组算符具有共同本征函数的充要条件是，这组算符中的任意两个算符都可以对易。例、动量算符的三个分量中的任意两个算符都可以对易，它们的共同本征函数是,相应的本征值是p( px，py，pz )。二 角动量的共同本征函数 球谐函数1、角动量z分量的本征值方程以及正交归一化的本征函数 , (6. 60) (6. 6
7、1)其相应的本征值为 .2、的共同本征函数考察的本征值方程, (6. 62) 的本征值，l是待定的无量纲参量 的本征函数从和的表达式 , 可以看出，本征值方程(6. 62)可以用分离变量法来求解。取其本征函数为. (6. 63)将它代入本征值方程(6. 62)，利用的本征值方程，可得关于函数的方程为.为了保证上述方程解的有限性，待定参量l满足 (6.64)通过计算，可以得到的正交归一化共同本征函数为, (6. 65)其中的为关联勒让德函数，为球谐函数(见表6 - 1)表6 - 1 球谐函数l m0 01 01 12 02 12 2，总之，的共同本征函数是球谐函数, 它们满足以下两个本征值, (
8、6. 66), (6. 67), (；) (6. 68)方程以及正交归一化条件：其中和Lz的本征值都是量子化的，l称为轨道量子数或角量子数，而m称为磁量子数。对于给定的轨道量子数l，L2的本征函数是不确定的，由于m =，因此共有个简并态，这些简并态由Lz的本征值来区分。 三 力学量完全集和本征函数的完全性1、解除简并？一个力学量的一个本征值对应于若干个本征函数，因此只利用的本征值不足以完全确定波函数；找力学量（与独立而又与对易），得 和的共同本征函数，仍然是简并的？找力学量（与和独立又对易）得，和的共同本征函数2、 力学量完全集假定(,)是一组彼此独立而又相互对易的厄米算符，它们的共同本征函数
9、记为ya，其中a 是一组量子数的笼统记号（如）。如果在给定一组量子数a 之后，就能够完全确定体系的一个可能状态，则称这一组力学量(,)构成了体系的一组力学量完全集。例、一维谐振子哈密顿算符的本征函数全部是非简并的，因H本身就是力学量完全集，自由度为1. 共同本征函数的正交归一性表示力学量的算符必定是厄米算符，而厄米算符的属于不同本征值的本征函数是彼此正交的。因此，力学量完全集的共同本征函数ya具有正交性，对于已经归一化的ya，有 , (6. 69) 态叠加原理如果一个体系刚好处于它的力学量完全集的共同本征态ya，则力学量的取值就是相应的本征值. 如果体系所处的状态y不是力学量的共同本征态，而是
10、若干个共同本征态的线性叠加，即 , (6. 70)则按照态叠加原理可以认为，处于y 态下的体系是部分地处于 态，部分地处于态部分地处于态。由于力学量的取值只能是其本征值，所以只要式(6. 70)中存在某个ya项，则相应的本征值就是的一种可能取值，即力学量的取值既可以是A1，也可以是 . 希尔伯特空间与波函数统计诠释包含哈密顿量在内的力学量完全集的共同本征态，构成了量子体系的态空间的一组完全的基矢，即体系的任何态均可用它们来展开。于是，力学量完全集的共同本征函数所张开的空间，就构成了体系的一个完全的态空间，称为希尔伯特空间。如此，体系的任何一个状态y 均可用希尔伯特空间中的矢量来描写，即用力学量
11、完全集的共同本征函数(设量子数a 是离散的)来展开，即 , (6. 71)则共同本征函数系必须是一组完全的函数系。利用ya的正交归一性，可以得到式(6. 71)中的展开系数为 . (6. 72)如果y 是归一化的波函数，则有 . (6. 73)如果a 是连续变化的，则可将以上各式中求和化为积分. 按照态叠加原理，展开式(6. 71)表示该体系可以部分地处在展开式中所包含的共同本征函数系的任何一个态中。展开系数的模方表示y 态部分地处于态的概率，或者说，表示在y 态下测量力学量A得到Aa值的概率。四 狄拉克符号狄拉克符号特点：运算简捷，无需采用具体表象。微观体系的状态： 用希尔伯特空间中的一个矢
12、量来表示，称为右矢(ket)。在右矢内标上某种记号，可表示某个特殊的态。对于本征态，常把本征值或相应的量子数标在右矢内。例、用表示能量本征态。左矢(bra)：表示右矢的共轭空间中的一个抽象态矢。态矢与态矢的内积记为，于是有 .与正交: = 0；为归一化矢: 。正交归一性设和为力学量完全集F的离散的本征态，则它们的正交归一性表示为. (6. 74)例题21. 4 求粒子处于态时角动量的x分量和y分量的平均值以及.解 由于与不对易，所以尽管球谐函数是与的共同本征函数，但却并不是和的本征函数。为了求出和的平均值，我们利用对易关系 ， 可以得到.同理可得.由于坐标x与y的对称性，因此有 , 再由 可得.例题21. 5 已知一量子态的波函数为,试求y 态中角动量L2和Lz的可
