不等式的证明(综合法)

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1、不等式的证明（二）,综合法,不等式证明（1）,ab bb , bc = ac ab a+cb+c a+bc ac-b ab , cd = a+cb+d ab , c0 = acbc ab , c acb0 , cd0 = acbd ab0 =an bn (nN , n1）,对称性 传递性 可加性 移项法则 加法法则 可乘性 乘法法则 乘方法则 开方法则, 倒数不等式倒数法则： 若ab 0 , 则 a b a b a x b 简记：,1/a 1/b 1/b 1/x 1/a “同号取倒反向”,平方不等式平方法则： 若 a , b 0 , 则 a b b b b 0 , b 0, 则 b x a,a

2、2 b2 b2 x2 a2 a2 b2 a2 x2 b2 min(a2,b2)x2 max(a2,b2),练习1： （1）判断下列命题的真假。 ab , c=d =acn bdn (nN) （ ） a/c b/c = ac bc （ ） a acbd （ ） ab , ab 1/aab , cd （ ） （ ）,(2) 若a1 (B) a2 1 (C) a 31 (D) |a |1,练习2.用下列符号(.)填写,并说明等号何时成立:,1. ab,cd =a+c_b+d,2. ab,cd =a+c_b+d,3. a2_0,4. a2+b2_2ab,6.b/a+a/b_2 (a,bR+),(当且仅

3、当a=0时等号成立),(当且仅当a=b时等号成立),(当且仅当a=b时等号成立),(当且仅当a=b时等号成立),(当且仅当a=b且c=d时等号成立),常用的定理和推论：,定理1.如果a,bR ,那么 a2+b22ab,(当且仅当 a=b 时等号成立),(当且仅当 a=b 时等号成立),即 n 个正数的算术平均数不小于它的几何平均数.,结论: b/a+a/b2 (a,bR+),(当且仅当 a=b 时等号成立),例1.设a ,b ,c是不全相等的实数. 求证:a2+b2+c2ab+bc+ca,证明: a2+b22ab b2 +c22bc a2+c22ac 又a,b,c是不全相等的实数 上面三式中总有一个不能取等号 三式相加得 2(a2+b2+c2 )2ab+2bc+2ca 即: a2+b2+c2ab+bc+ca 另证: a2+b2+c2-ab-bc-ca=1/2(a2+b2-2ab)+( b2 +c2-2bc)+( a2+c2-2ac) 又a,b,c是不全相等的实数 (a-c)2 +(b-c)2 +(c-a)20 a2+b2+c2ab+bc+ca,例3.设a,b,c是不全相等的正实数. 求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc,