《建模——捕食者》由会员分享，可在线阅读，更多相关《建模——捕食者（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、食饵捕食者模型 摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。 关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t的数量分别为，为羊群的固有增长率，为环境容许的最大羊群量，为环境容许的最大狼群量。1、假设羊群可以独
2、立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic规律，即，其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子中再减去一项，该项与狼群的数量（相对于而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为： （1）的意思是：单位数量的狼（相对而言）掠取倍的羊（相对而言）。2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为，则狼群独自存在时，有：，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是
3、得到狼群增长的方程为： （2）的意思是：单位数量的羊（相对而言）供养倍的狼（相对而言）。（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：（四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。数值解：记羊群和狼群的初始数量分别为： （3）为求微分方程（1），（2）及初始条件（3）的数值解（并作图）及相轨线，设，用MATLAB软件编制程序如下：function f=fun2(t,x);sigma1=1.5;sigma2=4;r1=1;r2=0.4;N1=2000;N2=100;f=r1.*x
4、(1).*(1-x(1)./N1- sigma1.*x(2)./N2);r2.*x(2).* (-1-x(2)./N2 +sigma2.*x(1)./N1)t,x=ode45(fun2,0,35,1580,30)得到数值结果如下：t(x,y)(单位：千)00.06750.13500.20260.27010.60770.94531.28301.62061.95282.28512.61742.94973.24813.54653.84504.14344.49084.83835.18575.53315.94086.34846.75617.16377.66538.16698.668518.428619.
5、164919.901120.637321.373622.229823.086123.942424.798625.673626.548627.423628.298629.173630.048630.923631.798632.599033.399334.199735.00001.5800 0.03001.5541 0.03151.5276 0.03311.5006 0.03461.4731 0.03611.3304 0.04371.1874 0.05031.0535 0.05540.9350 0.05860.8366 0.06000.7576 0.05990.6973 0.05880.6523
6、0.05700.6222 0.05510.6010 0.05300.5875 0.05090.5803 0.04900.5788 0.04680.5832 0.04490.5923 0.04330.6051 0.04200.6236 0.04070.6442 0.03980.6655 0.03930.6862 0.03900.7092 0.03910.7281 0.03940.7417 0.0400 0.7145 0.04260.7159 0.04270.7165 0.04280.7164 0.04280.7159 0.04290.7152 0.04290.7145 0.04290.7141
7、0.04290.7139 0.04290.7139 0.04290.7140 0.04290.7141 0.04280.7142 0.04280.7143 0.04280.7144 0.04290.7144 0.04290.7143 0.04290.7143 0.04290.7143 0.04290.7143 0.04290.7143 0.0429 plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t), 数值解的图形 plot(x(:,1),x(:,2),grid, 相轨线的图形从数值解及的图形可以看出它们的数量变化情况，随着时间的推移，都趋于一个稳定的值，从数值解中可以近
8、似的得到该稳定值为：（714，43）。为了研究两个种群食饵-捕食者的结局，即时的趋向，只需对它的平衡点进行稳定性分析。首先，根据微分方程（1），（2）解代数方程组 解方程组得到3个平衡点： ，因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时（，）才有实际意义，所以，对而言要求，。按照判断平衡点稳定性的方法计算： ， ,将3个平衡点,的结果及稳定条件列入下表中：平衡点稳定条件不稳定从上面3个平衡点可以看出，只有点才表明羊群和狼群在同一片草原上互相依存。（五）模型分析从模型求解中的数值解的图形和数值结果可以看出羊群和狼群的数量最终都会趋于一个稳定值，且这个稳定值为（714,43）。这就说明羊群和狼群的数量
9、保持在该值附近时，它们能够在同一个环境中一直生存下去。下面把之前Matlab微分方程数值解所取的参数代入该平衡点进行验证：r1=1;r2 =0.4;N1 =2000;N2 =100;a1=1.5;a2=4;x=(N1.*(1+a1)./(1+a1.*a2);y=(N2.*(-1+a2)./(1+a1.*a2);x;yans= 714.2857 42.8571即：=（714.2857,42.8571）这与数值计算的结果相一致，表明点为稳定平衡点。（六）模型评价该模型考虑了羊和狼的自身阻滞作用，根据这个模型我们可以得到，羊和狼的数量达到一定程度时，它们的数量将稳定在一定范围内，并且趋近于一个近似的稳定值。说明羊和狼在满足一定的条件下，它们生存的数量变化最终都会趋于稳定，达到现实生活中的生态平衡。参 考 文 献1姜启源 谢金星 叶俊 编.数学模型 第三版.北京：高等教育出版社，2003.8（2010重印）2唐家德.基于Matlab的三种群Volterra模型数值求解3姜启源 编. 数学模型 第1版. 北京：高等教育出版社
