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1、第二章 变分原理变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。变分法的早期思想是Johann Bernoulli在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。关于变分法的一般理论是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange变分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利学者Castigor提出了最小功原理。德国学者Hellinger于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner发表了与Hellinger相类似的工
2、作，此工作被称之为Hellinger-Reissner变分原理。我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。1956年Biot建立了热弹性力学变分原理。1964年钱伟长提出用Lagranger乘子构造广义 分原理的方法。1964年Gurtin提出了线弹性动力学变分原理。1967年意大利学者Tonti提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami应力函数都是变分变量。 2.1 历史上著名的变分法
3、命题历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。1、最速降线命题1695年，Bernoulli以公开信方式提出了最速降线命题。如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A、B两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB光滑下滑的时间最短。设A点与坐标原点O重合，B点的坐标为(x1,y1)，滑体质量为m，从O点下滑至P点时的速度为v，根据能量恒原理，有： (2-1)用s表示弧长，则沿弧切向方向的速度为： 图2-1 最速降线图 (2-2)曲线弧长为： (2-3)于是，时间为： (2-
4、4)下降时间为： (2-5)经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为： (2-6)2、短程线命题设是如图2-2所示的曲面，在此曲面上有A、B两点，试问如何连接可使此曲面上A、B两点间的距离最短。设A点的坐标为、B点的坐标为，在曲面上A、B两点的曲线长度为： (2-7)其中，是满足曲面的约束条件。 3、等周命题等周命题为在长度一定的闭合曲线中，什么曲线围成的面积最大。 图2-2 短程线设所给曲线的参数方程为，因这条曲线是封闭的，在这条曲线的始端和末端，有。该曲线周长为： (2-8)由于该曲线封，根据格林公式： (2-9)该曲线所围成的面积为： (2-10)于是等周问题可以归纳为在满足和式(2-8
5、)条件下，从所有可能函数中选择一对函数使面积最大。 2.2 泛函的概念 在函数论中，自变量对应着另一变量，则变量称为自变量的函数。假如自变函数对应着另一个函数，则称为泛函。函数是变量与变量之间的关系，泛函是变量与函数之间的关系。泛函是函数的函数，是函数的广义函数。通过微分学和变分学对比，可理解变分特性。2.2.1 微分和变分函数的自变量的增量是=-，当是独立变量时，的微分等于的增量，即；泛函的自变函数c的增量在它很小时称为变分，用或简单地用表示。变分等于与跟它相接近、并通过边界的另一个函数之差，即=-。特别指出的是，变分不是常值，而是通过边界条件的函数。两个自变函数相接近的意义可有不同的理解，
6、最简单的理解是在任意值上和之差很小，即：- (2-11)这种接近称零阶接近度，如图2-3所示。很明显，这时之差不一定是微量。如果满足零阶接近，同时满足自变函数的斜率也很接近，即： (2-12)这种接近称一阶接近度，如图2-4所示。图 2-3 零阶接近度 图2-4 一阶接近度依次类推，阶接近度要求零阶至阶导数之差都很小。 (2-14)接近度越高，两条曲线亦越接近。2.2.2 函数的微分和泛函的变分 函数的微分有两个定义。一个是通常的定义，即函数的增量定义为： (2-15)可展开为的线性项和非线性项之和，即 (2-16)其中线性项和无关，与有关，是高次项，当时，此时可称是可微，相应有： (2-17
7、)也可以说，对于可微函数，函数的微分是函数增量的主部分，即线性项。函数的第二定义是设是为一小参数，将对求导数，即 (2-18)当趋近于零时 (2-19)这就说明，在=0处对的导数等于在处的微分。称为拉格朗日乘子，此法称为拉格朗日乘子法。泛函的变分也有类似的两个定义。第一个定义：自变函数的变分所引起的泛函的增量，即： (2-20)类似地，其可展开为线性项和非线性项 (2-21)其中L是对的线性泛函项，而是非线性泛函项，是的同阶或高阶微量，当时，同时也趋近于零，这时泛函的增量等于的线性部分，叫做泛函的变分，用来表示。 (2-22)所以泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于函数变分来说是线性的
8、。第二个定义：泛函变分是对在处的示导值。泛函的增量用微小参数表示为： (2-23)因为泛函导数是对的导数在=0时的值，于是有 (2-24)因为线性项对是线性的，故 (2-25)并且当时，得 (2-26)由此得拉格朗日的泛函变分定义为 (2-27)2.2.2 变分运算规则 自变函数的变分是的函数，于是可以用求导数 (2-28)即 (2-29)因此，变分和导数的运算可换，变分的导数等于导数的变分。同理有： (2-30)其它运算规则如下： (2-31)2.2.3 极大极小极值问题与函数的极大、极小问题相类似，泛函也有极大、极小问题。如果任何一条接近的曲线的泛函值不大（或不小）于的泛函，即，则泛函在曲
9、线上达到极大（或极小）值，而且在上泛函的一阶变分等于零 =0 (2-32)因为函数接近度有零阶和高阶之分，所以变分分为强变分和弱变分。对于的零阶接近度的变分称为强变分，这样得到的极值叫强极值。如果是一阶接近度，即 (2-33)则把这类变分称弱变分，所得到极值称为弱极值。和微分的极值条件一样，一阶变分等于零的条件=0只是存在极值（或驻值）的必要条件，而不是充分条件，只有两阶变分才能确定极大或极小。2.3 泛函极值问题的欧拉方程变分的早期工作是把泛函极值问题化为微分方程问题，即欧拉-拉格朗日方程。求泛函 (2-34)在边界条件下的极值。设正确解为，为接近的任意函数，则 (2-35)其中为满足边界条
10、件式的接近于的变分，显然在边界上等于零，即 (2-36)泛函增量为 (2-38)根据泰勒级数展开，有 (2-38)令 (2-39) ： ： ：这时式（1.3.6）可以写成 (2-40)其中，称为一阶变分，二阶变分等。根据式(2-34)的泛函极值条件，=0，即 =0 (2-41)关于泛函的一阶变分式(2-39)或式(2-41)可由导数的概念获得。令F(x,y,z)是自变量x,y,z的函数,则其全导数为 (2-42)令泛函 是函数的函数。假如F不仅与有关，同时与其导数有关，这时泛函一阶变分自变函数可视为和其导数的函数。因此可以把微分符号d用变分符号来代替，而，因泛函的变分只与和的变分有关，故泛函变分为 (2-43)假如泛函含有，则 (2-44)对式（2-42）的第二项进行分部积分，得 (2-45)把上式代入式(2-42)中，得 (2-46)上式第二项是边界条件式，当给定边界条件情况下在和处，（式（1.3.5），即第二项等于零，这个边界条件
