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1、 http:/ MBA数学讲义第一章 实数的概念 性质和运算（1） 内容要点一、 充分条件定义：如果条件A成立，那么就可以推出结论B成立。即AB，这时我们就说A是B的充分条件。 例如：A为x0, B为x 0,BO 2 0 . 由x0x20 A是B的充分条件.MBA联考数学中有一类题目叫做“充分性判断题”：本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论.（而不必考试条件是否必要）在这类题目中有五个选项，规定为（A） 条件（1）充分，但条件（2）不充分；（B） 条件（2）充分，但条件（1）不充分；（C） 条件（1）和（2）单独都不充分，但联合起来充分；（D） 条件（1）充分，条件（2）也充分
2、；（E） 条件（1）和（2）单独都不充分，联合起来也不充分.二、 实数1、 数的概念和性质（1）自然数N、整数Z、分数（百分数%）（2）数的整除：设a,bZ 且b0若PZ使得a=pb成立，则称b能整除a，或a能被b整除，记作ba,此时我们把b叫做a因数，把a叫做b的倍数。 定理（带余除法），设a,bZ,且b0,则P，rZ使得a=bP+r，0rb成立，而且P、r都是惟一的，P叫做a被b除所得的不完全商，r叫做a被b除所得到的余数.(3)质数与合数质数：如果一个大于1的整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（或素数）.例如：2、3、5、7、.合数：一个大于1的正整数，除了能被1和本身整
3、除外，还能被其他正整数整除.这样的正整数叫做合数.例如：4、6、9、.(4)有理数与无理数有理数，整数、有限小数和无限循环小数，统称为有理数.无理数；无限不循环小数叫做无理数.（5）实数；有理数和无理数统称为实数，实数集用R表示.2、实数的基本性质：（1）实数与数轴上的点一一对应.（2）a，bR，则在ab中只有一个关系成立.（3）aR,则a20.3、实数的运算.实数的加、减、乘除四则运算符合加法和乘法运算的交换律，结合律和分配律。下面讨论实数的乘方和开方运算（1） 乘方运算当aR，a0时，a0=1，a-n=,负实数的奇数次幂为负数；负数的偶次数幂为正数。（2） 开方运算在实数范围内，负实数无偶
4、次方根；0的偶次方根是0；正实数的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根。在运算有意义时，三、 绝对值、定义实数a的绝对值，用a表示几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离。、性质（）a（）a=a（）aaa（）（）（）（a0）（）a+ba+b,当且仅当a,b同号时，等式成立（）a-ba-b,当且仅当a,b同号时，等式成立.（）aR时，a2=a2四、平均值、算术平均值：n个数的算术平均值为、几何平均值：n个正数,的几何平均值为五、比和比例、比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比记做、即a叫做比的前项，b叫做比的后项，若的商为k则称k为a:b的值。2、 比的性质（1） a:b
5、=ka=kb（2） a:b=ma:mb(m0)3、 百分比把比值表示成分母为100的分数，这个数就称为百分比或百分率，如1:2=50%a:b=r%常表述为a是b的r%,即a=br%.4、 比例的定义如果两个比a:b和c:d的比值相等，就称a、b、c、d成比例，记作a:b= c:d或= a和d叫做比例的外项，b和c叫做比例的内项。当a:b= b:d时，称b为a和d的比例中项即 b2=ad（2） 典型例题一、 充分条件判断，举例1、 方程x2-5x+6=0(1)x=2 (2)x=1解:将(1)x=2 代入方程,22-52+6=0 满足方程.条件(1)充分.将(2)x=1代入方程 12-51+6=2
6、0条件(2)不充分.答案应选A注 :若比题题干不变所给出的条件有如下变化时:(一) (1)x=1, (2)x=3 答案应选B(二) (1)x=2 (2)x=3 答案应选D(三) (1)x=0 (2)x=1 答案应选E2、等式x=y成立(x,y实数)(1)x2= y2 (2)x和y同号解:由x2 =y2x=y或x=-y条件(1)不充分.x和y同号时,可能x-y,条件(2)不充分.但条件(1)与(2)联合起来, x2= y2且x与y同号x=y故答案选C3、将一篇文章录入讲算机,录入员甲比录入员乙效率高(1)录入员甲与录入员丙合作,需3小时完成;(2)录入员乙与录入员丙合作,需4小时完成;解:设甲单
7、独录入需x小时录完,乙单独录入y小时录完.由条件(1)丙每小时录入量为-,再由条件(2)得+(-)=+即:甲每小时完成的工作量大于乙每小时完成的工作量.即:甲的效率比乙高,此题应选C二、 实数5、 从1到105的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ）（A）58个（B）57个（C）56个（D）49个（E）47个解：能被3整除的数可表示为3k，k=1，2、35是1到105能被整除的数.能被5整除的数可表示为5k, k=1,2、,21是1到105能被整除的数.3和5的最小公倍数是15既能被3整除,又能被5整除的数一定是15的倍数,可表示为15k ， k=1,2、7是从1到105中能被15整
8、除的数,从而能被3整除或被5整除的个数为35+217=49个 答案是D5、（充分性判断）（2009年10月考题）m是一个整数。（1） 若m=，其中p与q为非零整数，且m2是一个整数。（2） 若m=，其中p与q为非零整数，且是一个整数。 解：由条件（1），若m=，知m是有理数，又m2是一个整数，即有理数的平方是整数，则该有理数m必是一个整数，条件（1）充分 由条件（2），若m=，知m是有理数，又 =z是一个整数,即2m+4=3z m=故m不一定是一个整数,条件(2)不充分,故选A.6、 （2008年10月考试） 一个大于1的自然数的算术平方根为a，则与这个自然数左右相邻的两个自然数的算术平方根分
9、别为（ ）(A) -1，+1 (B) ， (C) ， ， （D） ， （E）,解：设n是大于1的自然数，则 ,分别为，从而，的算术平方根分别为， 故选D7、把无理数记作，它的小数部分记作则等于（ ）（A）-1 （B）1 （C）-2 （D）2 （E）-3解：因为91316 所以33所以k-10 因此k-1=1或k-1=3即k=2或k=4当k=2时 a=6 , b=6 ,此时a,b的算术平均值为6不是8当k=4时a=12 , b=4此时所以条件（1）充分，条件（2）不充分，故选A18、试判断x与三个数的算术平均值与x的大小关系解：因为有意义，所以 于是算术平均值 所以 ( 当且仅当时等号成立)四
10、比和比例19、设求使成立的z值解：由已知条件，设所以代入所以20、一公司向银行借款31万元，欲按的份额分配给下属甲、乙、丙三个车间进行技术改造，求甲车间应得的款数.解： 设甲、乙、丙三个车间应得的款数依次为万元，万元，万元，于是有+=31 故甲车间应得=15（万元）21、（问题求解）（2009年考题） 某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19:12，由于先增加若干女运动员，于是男女运动员比例变为20:13，后又增加了若干男运动员，于是男女运动员的比例最终变为30:19,如果后增加的男运动员比先增加的女运动员才多3人，则最后运动员的总人数为（ ）（A） 686 （B）637 （C）700 （D
11、）661 （E）600解：设原男女运动人数分别a与b，后增加女运动员x人，增加男运动员为y人则有从而最后运动员总人数为380+240+7+10=637（人）所以选B22、（问题求解）（2005年考题）甲，乙两个储煤仓库的库存煤量之比为10:7，要使这两个仓库的库存煤量相等，甲仓库需向仓库搬入的煤矿量占甲仓库库存煤量的（ ）（A）10% （B）15% （C）20% （D）25% （E）30%解：设甲仓库存煤矿量为a吨，则乙仓库存煤量为吨，现从甲仓库运走x吨，依题意所以 =15% 故选B23、（充分性判断） （2003年考题）某公司得到一笔贷款共68万元，用于下属三个工厂的设备改造，结果甲、乙、丙三个工厂按比例分别得到3
