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1、1,第2章 信源与信息熵,信源描述与分类 离散信源的信息熵和互信息 离散序列信源的熵 连续信源的熵与互信息 冗余度,2,2.1信源的描述与分类,信源是产生消息（符号）、消息序列和连续消息的来源。从数学上，由于消息的不确定性，因此，信源是产生随机变量、随机序列和随机过程的源 信源的基本特性是具有随机不确定性,3,2.1信源特性与分类,分类 时间 离散 连续 幅度 离散 连续 记忆 有 无 三大类： 单符号离散信源 符号序列信源（有记忆和无记忆） 连续信源,4,2.1信源特性与分类,离散无记忆序列信源 布袋摸球实验，若每次取出两个球，由两个球的颜色组成的消息就是符号序列。若先取出一个球，记下颜色放
2、回布袋，再取另一个球。,5,2.1信源特性与分类,离散有记忆序列信源 布袋摸球实验，每次取出两个球，由两个球的颜色组成的消息就是符号序列。若先取出一个球，记下颜色不放回布袋，再取另一个球。,6,2.1信源特性与分类,马尔可夫信源 当信源的记忆长度为m+1时，该时该发出的符号与前m个符号有关联性，而与更前面的符号无关。,7,2.1信源描述与分类,描述：通过概率空间描述 单符号离散信源 例如：对二进制数字与数据信源,8,2.1信源描述与分类,连续信源,9,2.1信源描述与分类,离散序列信源 以3位PCM信源为例,10,2.1信源描述与分类,当p=1/2,11,2.1信源描述与分类,离散无记忆序列信
3、源 布袋摸球实验，若每次取出两个球，由两个球的颜色组成的消息就是符号序列。若先取出一个球，记下颜色放回布袋，再取另一个球。,12,2.1信源描述与分类,离散有记忆序列信源 布袋摸球实验，每次取出两个球，由两个球的颜色组成的消息就是符号序列。若先取出一个球，记下颜色不放回布袋，再取另一个球。,13,2.1信源描述与分类,马尔可夫信源 当信源的记忆长度为m+1时，该时该发出的符号与前m个符号有关联性，而与更前面的符号无关。,14,2.1信源描述与分类,马尔可夫信源 由于高阶马尔可夫信源需要引入矢量进行分析，现方法将矢量转化为状态变量。定义状态： 信源在某一时刻出现符号概率xj与信源此时所处状态si
4、有关，用条件概率表示p(xj/si),状态转移概率表示为p(sj/si),15,2.1信源描述与分类,马尔可夫信源 更一般，经过n-m步后转移至sj的概率,16,2.1信源描述与分类,马尔可夫信源 特别关心n-m=1情况，pij(m,m+1),17,2.1信源描述与分类,马尔可夫信源 系统在任一时刻可处于状态空间的任意一状态，状态转移时，转移概率是一个矩阵， 一步转移转移矩阵为,18,2.1信源描述与分类,马尔可夫信源 k步转移概率pij(k)与l步和k-l步转移概率之间满足切普曼-柯尔莫郭洛夫方程。 定义：如果从状态I转移到状态j的概率与m无关，则称这类MovKov链为齐次 对于齐次马尔可夫
5、链，一步转移概率完全决定了k步转移概率。,19,2.1信源描述与分类,马尔可夫信源 定义：若齐次马尔可夫链对一切I,j存在不依赖于I的极限，则称其具有遍历性，pj称为平稳分布,20,2.1信源描述与分类,马尔可夫信源 定理：设有一齐次马尔可夫链，其状态转移矩阵为P，其稳态分布为wj,21,2.1信源描述与分类,不可约性，对于任意一对I和j， 都存在至少一个k，使pij(k)0. 非周期性，所有pij(n)0的n中没有比1大的公因子。 定理：设P是某一马尔可夫链的状态转移矩阵，则该稳态分布存在的充要条件是存在一个正整数N，使矩阵PN中的所有元素均大于零。,22,2.1信源描述与分类,Eg. 一个
6、相对编码器，求平稳分布,23,2.1信源描述与分类,Eg. 二阶马氏链，X0,1,求平稳分布,起始状态,00 01 10 11,1/2 0 1/4 0,1/2 0 3/4 0,0 1/3 0 1/5,0 2/3 0 4/5,S1(00),S2(01),S3(10),S4(11),24,2.2离散信源熵与互信息,信息量 自信息量 联合自信息量 条件自信息量 单符号离散信源熵 符号熵 条件熵 联合熵,25,2.2离散信源熵与互信息,信息 不确定性的消除 信息的度量 随机性、概率 相互独立符合事件概率相乘、信息相加 熵 事件集的平均不确定性,26,2.2离散信源熵与互信息,直观推导信息测度 信息I应
7、该是消息概率p的递降函数 由两个不同的消息（相互统计独立）所提供的信息等于它们分别提供信息之和（可加性）,27,2.2离散信源熵与互信息,定义：对于给定的离散概率空间表示的信源，x=ai事件所对应的（自）信息为 以2为底，单位为比特（bit) 以e为底，单位为奈特（nat) 1nat=1.433bit 以10为底，单位为笛特（det) 1det=3.322bit,28,2.2离散信源熵与互信息,定义：联合概率空间中任一联合事件的联合（自）信息量为： 定义：联合概率空间中，事件x在事件y给定条件下的条件（自）信息量为：,29,2.2离散信源熵与互信息,联合自信息、条件自信息与自信息间的关系,30
8、,2.2离散信源熵与互信息,Eg1 设在一正方形棋盘上共有64个方格，如果甲将一粒棋子随意地放在棋盘中的某方格内，让乙猜测棋子所在的位置： （1）将方格按顺序编号，令乙猜测棋子所在方格的顺序号 （2）将方格按行和列编号，甲将棋子所在的方格的行（或列）编号告诉乙，再令乙猜测棋子所在列（或行）所在的位置。,31,2.2离散信源熵与互信息,解：由于甲将一粒棋子随意地放在棋盘中的某方格内，因此棋子在棋盘中所处位置为二维等概率分布 （1）联合（自）信息量为 （2）条件（自）信息量为,32,2.2离散信源熵与互信息,Eg2. 一个布袋内放100个球，其中80个球为红色，20球为白色。若随机摸取一个球，猜测
9、其颜色，求平均摸取一次所获得的（自）信息量。 解：随机事件的概率空间为,33,2.2离散信源熵与互信息,34,2.2离散信源熵与互信息,单符号离散信源熵 定义：对于给定离散概率空间表示的信源所定义的随机变量I的数学期望为信源的信息熵，单位为比特/符号,35,2.2离散信源熵与互信息,离散信源条件熵 定义：对于给定离散概率空间表示的信源所定义的随机变量I（x/y)在集合X上的数学期望为给定y条件下信源的条件熵，单位为比特/序列,36,2.2离散信源熵与互信息,离散信源联合熵 定义：对于给定离散概率空间表示的信源所定义的随机变量I（x，y)的数学期望为集合X和集合Y的信源联合熵，单位为比特/序列,
10、37,2.2离散信源熵与互信息,联合熵、条件熵与熵的关系,38,2.2离散信源熵与互信息,单符号离散信源互信息 定义：对于给定离散概率空间表示的信源，在出现y事件后所提供有关事件x的信息量定义互信息，单位为比特,39,2.2离散信源熵与互信息,单符号离散信源互信息,40,2.2离散信源熵与互信息,条件互信息量与联合互信息量 定义：对于给定离散概率空间表示的信源，在事件z给定条件下，事件x与事件y之间的条件互信息量为：,41,2.2离散信源熵与互信息,条件互信息量与联合互信息量 定义：对于给定离散概率空间表示的信源，在事件x与联合事件yz之间的联合互信息量为：,42,2.2离散信源熵与互信息,E
11、g1(p23) 设信源发出8种消息符号，各消息等概发送，各符号分别用3位二进码元表示，并输出事件。通过对输出事件的观察来推测信源的输出。假设信源发出的消息x4，用二进码011表示， 接收到每个二进制码元后得到有关x4信息。,43,2.2离散信源熵与互信息,44,2.2离散信源熵与互信息,平均互信息量 其中,45,2.2离散信源熵与互信息,熵的性质 对称性 非负性 确定性 香农辅助定理 最大熵定理 条件熵小于无条件熵,46,2.2离散信源熵与互信息,非负性,47,2.2离散信源熵与互信息,对称性,48,2.2离散信源熵与互信息,确定性 香农辅助定理,49,2.2离散信源熵与互信息,最大熵定理 条
12、件熵小于无条件熵,50,2.2离散信源熵与互信息,平均互信息的性质 非负性 互易性 与熵和条件熵及联合熵关系 极值性 凸性函数性质 信息不增性原理,51,2.2离散信源熵与互信息,非负性,52,2.2离散信源熵与互信息,互易性,53,2.2离散信源熵与互信息,平均互信息与熵的关系,54,2.2离散信源熵与互信息,互信息量与熵的关系,55,2.2离散信源熵与互信息,极值性,56,2.2离散信源熵与互信息,凸性函数 当条件概率分布给定时，平均互信息量是输入概率分布的上凸函数 当集合X的概率分布保持不变时，平均互信息量是条件概率分布的下凸函数,57,2.2离散信源熵与互信息,信息不增性,58,2.3
13、离散序列信源的熵,离散无记忆信源的序列熵 离散有记忆信源的序列熵,59,2.3离散序列信源的熵,离散无记忆信源的序列熵,60,2.3离散序列信源的熵,离散无记忆信源的序列熵 平均每个符号熵（消息熵）,61,2.3离散序列信源的熵,离散有记忆信源的序列熵和消息熵,62,2.3离散序列信源的熵,Eg 求信源的序列熵和平均符号熵,63,2.3离散序列信源的熵,离散有记忆信源的序列熵和消息熵 结论1 是L的单调非增函数 结论2 结论3 是L的单调非增函数 结论4,64,2.3离散序列信源的熵,马氏链极限熵,65,2.3离散序列信源的熵,66,2.3离散序列信源的熵,Eg 求马氏链平均符号熵（三个状态）,67,2.4连续信源的熵与互信息,幅度连续的单个符号信源熵,68,2.4连续信源的熵与互信息,幅度连续的单个符号信源熵,69,2.4连续信源的熵与互信息,波形信源熵,70,2.4连续信源的熵与互信息,最大熵定理,71,2.4连续信源的熵与互信息,最大熵定理 限平均功率最大熵定理：对于相关矩阵一定随机变量X，当它是正态分布时具有最大熵,72,2.5冗余度,冗余度，表示给定信源在实际发出消息时所包含的多余信息。它来自两个方面，一是信源符号间的相关性；二是信源符号分布的不均匀性,73,2.5冗余度,Eg. 计算英文字母冗余度,
