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1、第五章 常微分方程（简记ODE）本章主要知识点l 可分离变量的ODEl 一阶线性非齐次常微分方程及推广l 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程l 一些特殊类方程 一、可分离变量的ODE1基本型的解法基本型：基本解法： 例5.1 解：通解为： 将得： 得 例5.2 解：，得：例5.3解：，得：例5.4已知满足，求。解：由知。方程两边对求导得，分离变量求得，将代入得，。2可转化的可分离变量的齐次方程方法：令。例5.5解：令 ，将代入即可。例5.6解： ，令 即，将代入即可。二、一阶线性齐次方程（ODE）1基本型公式公式：注：应用此公式要注意：不定积分不带C；基本型又称标准型。例5.7解：，其中。，
2、由公式得，。例5.8解：，将代入得，。2Bernoulli方程方法：令 ，方程可简化为 例5.9解：令 ，则，得 ， 故，例5.10解：令，代入即得： 即三、二阶常系数线性ODE1齐次方程，其中为常数。求解步骤：1）特征方程 ，求根。 2） 互异实根， ，； ，。其中为任意实数。例5.11解：得=4，-1，（其中为任意实数）例5.12解：，例5.13解：，。例5.14解：， 。2非齐次方程其中，表示次多项式。解结构：齐次方程通解特解。特解形式设定如下： （1）识别；（2）计算，和特征根相等个数，。（3）特解可设为，其中为次多项式。注：这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成。例5.15解：（）
3、，齐次通解（），又设，代入原方程得，。例5.16解：（），（），可设计算得： 代入原方程得，。例5.17解：（），（）的特解，。又设代入原方程得解得；（3）的特解 可设，代入得，D，。 综合得。例5.18设其中为连续函数，求的具体表达式。解：原式两边求导得：再求导得：，即且（1） （2）设特解为代入原方程得 。由条件得，四、特殊类方程（1）,等 方法：直接积分例5.19解： 积分， 再积分，（2） 不显含 方法：令，则，则得到，降为一阶方程例5.20解：令 ， ，如果，则， 或分离积分法 如果，那么 （其包含在上述解之中）方程通解 （其中,为任意实数）。单元练习题51下列微分方程哪一个是线性的
4、（）(A) (B) (C) (D) 2方程，它是 阶微分方程。3方程的通解是 。4方程的特解可设为 。5求解下列常微分方程：6求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于，并且曲线通过原点。7设曲线上任一点处切线与直线垂直，求这个曲线的方程8一链条挂在一个无摩擦的钉上，假定运动开始时，链条一边垂下8m，另一边垂下10m，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9设，为连续函数。求。10设处处可导，且并对任意实数x和y有 求.11有连结A(0,1)，B(1,0)两点的一条凸曲线，它位于AB弦的上方。P(x,y)为该曲线上的任一点。已知该曲线弧与AP之间的面积为。求该曲线方程。历年真考题1（2001）微
5、分方程的通解为： 。2（2001）求微分方程，满足初始条件的特解。3（2002）微分方程的通解是（ ）A. B. C. D. 4（2002）设满足微分方程，且，则 。5（2002）求，满足的解。6（2003）满足的解是（ ）A. B. C. D. 7（2003）解微分方程的通解。8（2004）微分方程的特解的形式应为 A. B. C. D. 9（2004）设函数可导，且满足方程，求。10（2005）求微分方程满足初始条件的特解。本章测试题1微分方程的阶数 。2的通解是 。3 的特解 形如 。4微分方程的通解是（ ） 5 6 7（1）（2）8设为连续函数且满足。求。9已知是的解。 （1）求p,q
6、 （2）写出该方程的通解；并求满足条件的特解。单元练习题5答案1 C 2二阶 3 45. (1)解：。 (2) 。 (3)令，即。 (4) 。 (5) ， 将代入， （6） 令 ， ， 。即 ，为任意常数（7）令 若，即 （不合定解条件） 若， ，将，代入，代入，得，即（8）解：（1）齐次方程通解 ，又设 代入原方程得 得到：。（9）解：（1）齐次方程通解。（2） ，可设，得到，6解： 且，即， ， ，由 得所以 7设原曲线的方程为 则 即 8设左边绳x处在t时刻滑过钉子，此时， 且满足定解条件 ，解得：令得到 解得：。910令得f(0)=0 即，解得。11设曲线方程为，则梯形OAPQ的面积，依题意得：，两边对x求导得，解得。本章测试答案1. 一阶 2. 3. 4.A5.，设，原方程解为6（1）（2）设，代入得，7 (1)令则，（2）令，。积分得，积分，或，其中为任何实数。8求导得：，解得。9特征根，则特征方程为，方程为 故有。 通解； 特解。
