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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第I卷和第II卷两部分，共四页，满分150分考试用时120分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回注意事项：1答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名 、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上2第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号，答案不能答在试卷上 3第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、
2、修正带不按上述要求作答的答案无效 4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤参考公式：锥体的体积公式：，其中是锥体的底面积，是锥体的高若事件互斥，则；若事件独立，则第卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（1）若复数满足（为虚数单位），则为（ ） （A） （B） （C） （D）（2）已知全集，集合，则为（ ）（A） （B） （C） （D）（3）设且，则“函数在R上是减函数”是“函数在R上是增函数”的（ ）条件（A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充分必要 （D）既不充分也不必要（4）采用系统抽
3、样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，便后落入做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为（ ）（A）7 （B）9 （C）10 （D）15（5）已知点满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）（6）执行右面的程序框图，若输入，则输出的的值为（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（7）若，则（ ）（A） （B） （C） （D）（8）定义在R上的函数满足，且当时，；当时，则（ ）（A）335 （B）338 （C）1678 （D
4、）2012（9）函数的图像大致为（ ）（10）已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ）（A） （B） （C） （D）（11）现有16张不同的卡片，其中红、黄、蓝、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）（A）232 （B）252 （C）472 （D）484（12）设函数，若的图像与的图像有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是（ ） （A）当时，（B）当时，（C）当时，（D）当时，第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分（13）若不等
5、式的解集为，则实数_（14）如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为_（15）设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则_1 21（16）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_三、解答题：本大题共6小题，共74分（17）（本小题满分12分） 已知向量，函数的最大值为6（）求；（）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在 上的值域（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形， 平面， （）求证平面；（）求二
6、面角的余弦值（19）（本小题满分12分） 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击（）求该射手恰好命中一次的概率；（）求该射手的总得分的分布列及数学期望（20）（本小题满分12分） 在等差数列中，（）求数列的通项公式；（）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为（）求抛物线的方
7、程；（）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值（22）（本小题满分13分）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线 在点处的切线与轴平行（）求的值；（）求的单调区间；（）设，其中是的导函数证明：对任意，2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案ACACABDBDDCB二、填空题 （13） （14） （15） （16）三、解答题（17）解：（） 因为 ，由题意知 （）由（I） 将的图象向左平移个单位
8、后得到 的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到 的图象 因此， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以在上的值域为（18）（）证明：因为四边形为等腰梯形， 所以 又 ， 所以 因此 ， 又 ，且，平面， 所以 平面 （）解法一： 由（I）知，所以，又平面， 因此 两两垂直以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则， ， 因此 ， 设平面的一个法向量为， 则 ， 所以 ，取， 则 又平面的法向量可以取为， 所以 ， 所以二面角的余弦值为 解法二： 取的中点，连结，由于，所以 又平面，平面，所以 由于，平面，所以平面，故所以为二面角的平面角 在等腰三
9、角形中，由于， 因此，又， 所以， 故 ,因此 二面角的余弦值为（19）解：（）记“该射手恰好命中一次”为事件；“该射手设计甲靶命中”为事件；“该射手第一次射击乙靶命中”为事件；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 由题意知， 由于，根据事件的独立性与互斥性得 （）根据题意，的所以可能取值为 根据事件的独立性和互斥性得 ， ，故的分布列为012345 所以（20）解：（）因为是一个等差数列，所以，即所以，数列的公差，所以， （）对，若 ，则 ，因此 ，故得 于是 （21）解：（）依题线段为圆的弦，由垂径定理知圆心的纵坐标，又到抛物线准线的距离为，所以. 所以为所求.（）假设存在点，又，设，.变形
10、为因为直线为抛物线的切线，故，解得，即，.又取中点，由垂径定理知，所以，所以存在，.（）依题，圆心，圆的半径， 圆心到直线的距离为，所以，.又联立，设，则有，. 所以，.于是， 记，所以在，上单增，所以当，取得最小值，所以当时，取得最小值.（22）解：（），依题意，为所求.（）此时 记，所以在，单减，又， 所以，当时，单增； 当 时，单减. 所以，增区间为（0，1）；减区间为（1，.（），先研究，再研究. 记，令，得， 当，时，单增； 当，时，单减 . 所以，即. 记，所以在,单减，所以，即 综、知，.另解依题意知关于的多项式有二重根，不妨设二重根为，另一根为，则上述多项式可以分解为 ，展开对比系数得 ，由于，且显然，故必有 ， 又展开对比常数项得 ，从而解得 ， 又，易得 ， 从而
