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1、3.1 引言,从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。,发展历史,1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 泊松(Pois
2、son)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。,主要内容,本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。 对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以
3、利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。 本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。,3.2 周期信号傅里叶级数分析,三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数 两种傅氏级数的关系 频谱图 函数的对称性与傅里叶级数的关系 周期信号的功率 傅里叶有限级数与最小方均误差,主要内容：,一三角函数形式的傅里叶级数,由积分可知,1.三角函数集,在满足狄氏条件时，可展成,直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,称为三角形式的傅里叶级数，其系数,2级数形式,狄利克雷（Dirichlet）条件,条件3:在一周期内，信号绝对可积。,条件2：在一周期内，有有限个极大值和极小值。,
4、条件1：在一周期内，有有限个第一类间断点。,第一类间断点：设函数f(x)在点x0处的左、右极限都存在，即下列三种情况均称之为第一类间断点。 1、f(x0-0)和f(x0+0)都存在，但f(x0-0) f(x0+0)； 2、f(x0-0) =f(x0+0) f(x0)； 3、f(x0-0) =f(x0+0)，而 f(x0)不确定。,例3-2-1,求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。,周期锯齿波的傅里叶级数展开式为,直流,基波,谐波,其他形式,余弦形式,正弦形式,关系曲线称为幅度频谱图；,关系曲线称为相位频谱图。,周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。,幅度频率特性和相位频率特性,二
5、指数函数形式的傅里叶级数,1复指数正交函数集,2级数形式,3系数,利用复变函数的正交特性,说 明,三两种系数之间的关系及频谱图,利用欧拉公式,相频特性,幅频特性和相频特性,幅频特性,频谱图,幅度频谱,相位频谱,离散谱，谱线,请画出其幅度谱和相位谱。,例3-2-2,化为余弦形式,三角函数形式的频谱图,三角函数形式的傅里叶级数的谱系数,化为指数形式,整理,指数形式的傅里叶级数的系数,谱线,指数形式的频谱图,三角形式与指数形式的频谱图对比,三角函数形式的频谱图,指数形式的频谱图,四小结,（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式,（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质,（2）两种频谱图的关系,（4
6、）引入负频率,(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式,三角形式,指数形式,(2)两种频谱图的关系,单边频谱,双边频谱,关系,(3)三个性质,(4)引入负频率,注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性（见下页）,周期单位冲激序列的频谱,分析：狄氏条件是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数存在。即,满足离散性，谐波性，不满足收敛性，频带无限宽。,五函数的对称性与傅里叶级数的关系,偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数,注：指交流分量,关 系,偶函数*偶函数=偶函数 奇函数*奇函数=偶函数 奇函数*偶函数=奇函数,1、偶函数：,2、奇函数：,则f(t)为偶函数
7、时，f(t)cosnt为偶函数 f(t)sinnt为奇函数,取积分后，bn=0,则f(t)为奇函数时，f(t)cosnt为奇函数 f(t)sinnt为偶函数,取积分后，a0=an=0,1偶函数,信号波形相对于纵轴是对称的,2奇函数,3奇谐函数,f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即,若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变化：,4偶谐函数,f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量,5结 论,偶无正，奇缺余 奇谐偶谐奇偶行,指奇次谐波分量 和偶次谐波分量,正弦分量,余弦分量,对于非正弦周期信号分解成三角付里叶级数形式时,奇谐函数,偶谐函数,偶函数,奇函数,六周期信
8、号的功率,这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明： 周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和； 也就是说，时域和频域的能量是守恒的。,绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。,周期信号的功率证明,对于三角函数形式的傅里叶级数,平均功率,对于指数形式的傅里叶级数,总平均功率=各次谐波的平均功率之和,七傅里叶有限级数与最小方均误差,误差函数,方均误差,主要内容,本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析 主要讨论：频谱的特点，频谱结构， 频带宽度，能量分布。 其他信号，如周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号请
9、自学。,3.3 典型周期信号的傅里叶级数,一频谱结构,三角函数形式的谱系数 指数函数形式的谱系数 频谱特点,1三角形式的谱系数,是个偶函数,2指数形式的谱系数,3频谱及其特点,(1)包络线形状：抽样函数,(3)离散谱（谐波性）,4小结,1.问题提出,二频带宽度,第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率） 由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。,而总功率,周期矩形脉冲信号的功率,二者比值,在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。,2频带宽度,对于一般周期信号，将幅度下降为 的频率区间定义为频带宽度。,一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：,语
10、音信号 频率大约为 3003400Hz，,音乐信号 5015,000Hz，,扩音器与扬声器 有效带宽约为 1520,000Hz。,3系统的通频带信号的带宽，才能不失真,3.4 傅里叶变换,傅里叶变换 傅里叶变换的表示 傅里叶变换的物理意义 傅里叶变换存在的条件,一傅里叶变换,：周期信号,非周期信号,连续谱，幅度无限小；,离散谱,1. 引出,0,再用 表示频谱就不合适了，虽然各 频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 引入频谱密度函数。,0,（1）,频谱密度函数 简称频谱函数,单位频带上的频谱值,w,-j,),(,t,dt,e,t,f,频谱密度函数的表示,2反变换,由复指数形式的傅里叶级数,3傅里
11、叶变换对,欧拉公式,二傅里叶变换的表示,实部,虚部,实部,虚部,模,实信号 偶分量 奇分量,相位,偶函数 （奇分量为零）,为实函数，只有 ，相位,奇函数 （偶分量为零）,为虚函数，只有 ，相位,三傅里叶变换的物理意义,实函数,欧拉公式,积分为0,求和 振幅 正弦信号,解释,四傅里叶变换存在的条件,所有能量信号均满足此条件。,3.5 典型非周期信号的 傅里叶变换,矩形脉冲 单边指数信号 直流信号 符号函数 升余弦脉冲信号,一单边指数信号,频谱图,幅度频谱：,相位频谱：,二矩形脉冲信号,幅度频谱：,相位频谱：,频谱图,幅度频谱,相位频谱,频宽：,三直流信号,不满足绝对可积条件，不能直接用定义求,推
12、导,时域无限宽，频带无限窄,证明,w,O,四符号函数,处理方法：,做一个双边函数,不满足绝对可积条件,频谱图,五升余弦脉冲信号,频谱图,其频谱比矩形脉冲更集中。,3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换,冲激函数 冲激偶 单位阶跃函数,一冲激函数,冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求。,比较,二冲激偶的傅里叶变换,三单位阶跃函数,3.7 傅里叶变换的基本性质,对称性质 线性性质 奇偶虚实性 尺度变换性质 时移特性 频移特性 微分性质 时域积分性质,主要内容：,意义：傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论
13、傅里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；用性质求F()；了解在通信系统领域中的应用。,一对称性质,1性质,2 意义,例3-7-1,例3-7-2,相移全通网络,例3-7-3,二线性性质,1性质,2例,三奇偶虚实性,在3.4的“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。,由定义,可以得到,证明：,奇偶虚实性证明,设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）,显然,四尺度变换性质,意义,(1) 0a1 时域扩展，频带压缩。,(2) a1 时域压缩，频域扩展a倍。,证明见下页,尺度变换性质证明,综合上述两种情况,因为,(1) 0a1 时域扩展，频带压缩。,脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的
14、频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。,持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比（证明见下页），有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。,（2）a1 时域压缩，频域扩展a倍。,等效脉冲宽度与等效频带宽度,等效脉冲宽度与占有的等效带宽成反比。,五时移特性,幅度频谱无变化，只影响相位频谱，,时移加尺度变换,时移加尺度变换证明,例3-7-4（时移性质，教材3-2）,求图(a)所示三脉冲信号的频谱。,解：,因为,脉冲个数增多，频谱 包络不变，带宽不变。,例3-7-5,方法一：先标度变换，再时
15、延,方法二：先时延再标度变换,2证明,1性质,六频移特性,3说明,4应用,通信中调制与解调，频分复用。,例3-7-6（教材例3-4）,已知矩形调幅信号,解：,因为,频谱图,七微分性质,时域微分性质 频域微分性质,或,1时域微分,时域微分性质证明,即,求三角函数的频谱密度函数,例3-7-7,分析,解,注意,如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶变换，余下部分再用微分性质。,2频域微分性质,或,推广,例3-7-8,解：,例3-7-9,解：,八时域积分性质,也可以记作：,时域积分性质证明,变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为,交换积分顺序 ，即先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换,时域积分性质证明（续）,例3-7-10,1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换。,解：,解：,3.8卷积特性（卷积定理）,卷积定理 卷积定理的应用,一卷积定理,时域卷积定理,时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。,频域卷积定理,证明在下页,时域卷积定理的证明,因此,所以,卷积 定义,交换积分次序,时移 性质,求系统的响应。,将时域求响应，转化为频域求响应。,二应用,用时域卷积定理求频谱密度函数。,例3-8-1,3.9 周期信号的傅里叶变换,正弦信号的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换 如何由F0()求F(n1) 单位冲激序列的傅氏变换
