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1、5.4复频域分析,微分方程描述系统的复频域分析 系统函数 系统的s域框图 电路的复频域模型 傅里叶变换和拉普拉斯关系,一、微分方程描述系统的复频域分析,时域微分方程,时域响应y(t),s域响应Y(s),单边拉氏变换,拉氏反变换,解微分方程,解代数方程,s域代数方程,一、微分方程描述系统的复频域分析,二阶系统响应的s域求解,已知 x(t)，y(0-)，y (0-) ，求y(t)。,1) 经拉氏变换将时域微分方程变换为s域代数方程,2) 求解s域代数方程，求出Yzi(s), Yzs(s),3) 拉氏反变换，求出响应的时域表示式,求解步骤：,二阶系统响应的s域求解,Yzi(s),Yzs(s),y“(
2、t),a1y(t),a2y (t),例1 系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2x(t) + 8x(t) 激励 x(t) = e-tu(t)，初始状态y(0-)=3， y(0-)=2，求响应y(t)。,解：对微分方程进行单边拉氏变换可得,例2 描述某LTI系统的微分方程为 y“(t) + 4y(t) + 4y(t) = f (t)+ 3 f (t) 已知初始状态y(0+) = 1，y(0+)= 3，激励f (t) = e-t(t)，求系统的yzi(t) 、yzs(t)。,二、系统函数,1. 定义,系统在零状态条件下，输出的拉氏变换式 与输入的拉式变换式之比，记为H(
3、s)。,2. H(s)与h(t)的关系,h(t),(t),yzs(t) = (t)*h(t),3. 求零状态响应,x(t),yzs (t) = x(t)*h(t),X(s),Yzs (s) = X(s)H(s),4. 求H(s)的方法, 由系统的冲激响应求解：H(s)=Lh(t), 由定义式, 由系统的微分方程写出H(s),例1已知一LTI连续时间系统满足的微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=3x(t)+2x(t) t 0 试求该系统的系统函数H(s)和单位冲激响应h(t)。,解：,对微分方程两边进行Laplace变换得,根据系统函数的定义可得,进行Laplace反变换，可得,例2
4、试求零初始状态的理想积分器和理想微分器的系统函数H(s),解：,1）具有零初始状态的理想积分器的输入输出关系为,根据系统函数的定义可得,两边取Laplace变换，可得,解：,2）具有零初始状态的理想微分器的输入输出关系为,两边取Laplace变换，可得,系统的冲激响应为,三、系统的s域框图,时域框图基本单元,s域框图基本单元(零状态),例3 如图框图，列出其微分方程,X(s),s-1X(s),s-2X(s),解 画出s域框图,s-1,s-1,F(s),Y(s),设左边加法器输出为X(s)，如图,X(s) = F(s) 3s-1X(s) 2s-2X(s),Y(s) = X(s) + 4s-2X(
5、s),微分方程为 y“(t) + 3y(t) + 2y(t) = f “(t)+ 4f (t),四电路的s域模型,电路定理的推广,线性稳态电路分析的各种方法都适用。,四电路的s域模型,电路元件的s域模型,1、电阻元件的s域模型,2、电感元件的s域模型,利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：,并联形式,串联形式,3、电容元件的s域模型,电流源形式：,求响应的步骤,画0-等效电路，求起始状态； 画s域等效模型； 列s域方程（代数方程）； 解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)； 拉氏反变换求v(t)或i(t)。,例2 图示电路初始状态为vC(0-)= -E, 求电容两端电压vC(t)
6、。,解：建立电路的s域模型,由s域模型写回路方程,求出回路电流,电容电压为,例2,如图所示电路，已知uS(t) = (t) V，iS(t) =(t)，起始状态uC(0-) =1V，iL(0-) = 2A，求电压u(t)。,解 画出电路的s域模型,Us(s)=1/s， Is(s)=1,u(t) = et(t) 3tet(t) V,若求uzi(t)和uzs(t),五、傅里叶与拉普拉斯关系（单边）,由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系,1、,衰减函数，傅氏变换是存在:,2、,3、,例如：,1、单极点的情况(N个不相等的单复根)。,函数f(t) 的象函数F(s)的收敛边界0 =0 ，则它在虚轴上必有极点。也就是说，A(s)=0必有虚根。,拉斯反变换,傅里叶变换,傅里叶变换,2、如果是多重极点(特征根存在r重虚根)。,其中1为特征根的虚部。,例2：已知象函数求傅立叶变换。,总结,对于有起因信号，求单边拉氏变换中，一般是t0的信号，所以收敛域在收敛轴右边。对F(s)分解因式，找出极点。收敛域中不应有极点，最右边的极点为收敛坐标。,
