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1、2.2 冲激响应和阶跃响应,一、冲激响应,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t) ,冲激响应示意图,2、二阶系统的冲激响应,1、定义,例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。,解 根据h(t)的定义 有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。,容易求得： h(0+) = 1 h(0+)=0,对t0时，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0 故系统的冲激响应就是它的齐次解。
2、微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t) 代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t),响应及其各阶导数(最高阶为n次),3n阶系统的冲激响应,(1)冲激响应的数学模型,对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示,激励及其各阶导数(最高阶为m次),(2)h(t)解答的形式,设特征根为简单根（无重根的单根）,由于 及其导数在 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。,与n, m相对大小有关,与特征根有关,例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)
3、+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。,解 根据h(t)的定义 有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。 由方程可知， h(t) 中含(t) 故令 h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t) h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h(t) = a(t) + p1(t) 代入式(1)，有,a”(t) + b(t)+ c(t) + 5a(t) + b(t) + 6a(t)= ”(t)+
4、2(t)+3(t),整理得 a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t),利用(t) 系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12 所以 h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3(t) （4）,对式(3)从0-到0+积分得 h(0+) h(0-) = 3 对式(4)从0-到0+积分得 h(0+) h(0-) =12 故 h(0+) = 3， h(0+) =12,微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲
5、激响应为 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0 代入初始条件h(0+) = 3， h(0+) =12 求得C1=3，C2= 6, 所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0 结合式(2)得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t) (t),对t0时，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0,解法2:,假设一个新变量y1(t)，并且满足：,根据LTI的线性性质:,显然,求出h1(t)就能得到h(t)。由上例结果我们知道：,由冲激响应的定义，则,因此：,一般而言：对LTI系统求冲激响应也可根据LTI的线性 性质，分为以下两个步骤：,1、选取新变量h1(t)，并
6、且求得它的冲激响应h1(t)。,2、根据LTI系统的线性性质，很容易求得系统的 冲激响应h(t)。,二、阶跃响应,由单位阶跃函数(t)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。g(t)=T0, (t),阶跃响应示意图,1.定义,系统方程的右端将包含阶跃函数(t) ，所以除了齐次解外，还有 特解项。,(1)若n阶微分方程等号右端只含激励f(t),即若:,则当f(t)= (t)时,系统的阶跃响应g (t)满足：,由于f(t)不包含(t) 以及各阶导数的形式,因此:,求解g(t)有两种情况,若微分方程的特征根均为单根,则阶跃响应为:,式中各常数Cj由0+时刻的初始值确定,为微分方程,的特解。,如果等号右端含有f(t)及其各阶导数，则根据LTI系统的线性性质和微分特性求得,2阶跃响应与冲激响应的关系,线性时不变系统满足微、积分特性,3、阶跃响应的求法： 1）经典法； 2）从冲激响应求阶跃响应。,
