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1、第四章 连续系统的频域分析,点击目录 ，进入相关章节,第四章 连续系统的频域分析,点击目录 ，进入相关章节,第四章 连续系统的频域分析,第四章 连续系统的频域分析,傅里叶分析的发展历史 1822 法国数学家，物理学家傅里叶（J.fourler 1768-1830)在研究热传导理论的过程中提出并证明了周期信号可展开为正弦级数的原理。 泊松(Poisson)、高斯（Gauss）等人将这一理论引入电学中，并得到广泛应用。 进入20世纪以后，谐振电路，滤波器，正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的天地。 在通信与控制系统的理论研究和工程应用中，傅里叶分析具有很多
2、优点。 FFT快速傅里叶变换为傅里叶分析赋予了新的生命力。,第四章 连续系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数,一、矢量正交与正交分解,时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；yf(t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号ejt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。,矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0。即,4.1 信号分解为正交函数,由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为
3、正交矢量集,4.1 信号分解为正交函数,二、信号正交与正交函数集,1. 定义：,定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足,(两函数的内积为0),则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。,2. 正交函数集：,若n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足,则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。,4.1 信号分解为正交函数,3. 完备正交函数集：,如果在正交函数集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函数(t)(0）满足,则称此函数集为完备正交函数集。,例如：三角函数集1，cos(nt)，si
4、n(nt)，n=1,2, 和虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。,( i =1，2，n),4.1 信号分解为正交函数,三、信号的正交分解,设有n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C11+ C22+ Cnn,如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。,通常使均方误差最小。均方误差为,4.1 信号分解为正交函数,为使上式最小,展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写
5、为,即,所以系数,4.1 信号分解为正交函数,代入，得最小均方误差（推导过程见教材）,在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有,上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和,4.1 信号分解为正交函数,小结：,巴塞瓦尔(Parseval)公式：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,函数f(t)可分解为无穷多项正交
6、函数之和,4.2 傅里叶级数,4.2 傅里叶级数,一、傅里叶级数的三角形式,4.2 傅里叶级数,由积分可知,由,4.2 傅里叶级数,设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数,系数an , bn称为傅里叶系数,可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。,2 周期信号分解为傅里叶级数,4.2 傅里叶级数,式中，A0 = a0,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同； A2cos(2t+2)
7、称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。,可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为,4.2 傅里叶级数,二、波形的对称性与谐波特性,1 .f(t)为偶函数对称纵坐标,bn =0，展开为余弦级数。,2 .f(t)为奇函数对称于原点,an =0，展开为正弦级数。,实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以
8、,4.2 傅里叶级数,3 .f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2),此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=b2=b4=0,4 .f(t)为偶谐函数f(t) = f(tT/2),此时 其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即 a1=a3=b1=b3=0,4.2 傅里叶级数,三、傅里叶级数的指数形式,三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出： 利用,4.2 傅里叶级数,上式中第三项的n用n代换，A n=An， n= n， 则上式写为,令A0=A0ej0ej0t ，0=0,所以,4.2
9、 傅里叶级数,令复数,称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。,n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，其各分量的复数幅度为Fn 。其中 F0 = A0/2为直流分量。,4.2 傅里叶级数,四、周期信号的功率Parseval等式,表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。,周期信号一般是功率信号，其平均功率为,4.3 周期信号的频谱,4.3 周期信号的频谱及特点,一、信号频谱的概念,周期信号可分解为一系列正弦信号或虚指数信号之和，即,4.3 周期信号的频谱,4.3 周期信号的频谱,例：周期信号 f(t) = 试求该周期
10、信号的基波周期T，基波角频率，画出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。,解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即,显然1是该信号的直流分量。,的周期T1 = 8,的周期T2 = 6,所以f(t)的周期T = 24，基波角频率=2/T = /12,4.3 周期信号的频谱,是f(t)的/4/12 =3次谐波分量；,是f(t)的/3/12 =4次谐波分量；,画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图,对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无实际的 物理意义。为什么引入负频率？,根据帕斯瓦尔等式，其功率为,4.3 周期信号的频谱,二、周期信号频谱的特点,举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期
11、矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。,令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）,4.3 周期信号的频谱, n = 0 ,1，2，,1) 包络线形状为抽样函数。,4.3 周期信号的频谱,谱线的结构与波形参数的关系：,(a) T一定，变小，此时= 2/T （谱线间隔）不变,零点位置变宽。两零点之间的谱线数目增多。 (b) 一定，T增大，零点位置不变，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。,特点： (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基
12、频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。,4.4 傅里叶变换,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,一、傅里叶变换,非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令,(单位频率上的频谱）,称F(j)为频谱密度函数。,4.4 傅里叶变换,考虑到：T，无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而,同时， ,于是，,傅里叶变换式,傅里叶反变换式,F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简
13、称频谱。 f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。,根据傅里叶级数,4.4 傅里叶变换,也可简记为,F(j)一般是复函数，写为 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:,(2)用下列关系还可方便计算一些积分,4.4 傅里叶变换,二、常用函数的傅里叶变换,单边指数函数f(t) = et(t)， 0实数,2. 双边指数函数f(t) = et , 0,4.4 傅里叶变换,3. 门函数(矩形脉冲),4. 冲激函数(t)、(t),欧拉公式,4.4 傅里叶变换,5. 常数1,有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列fn(t)逼近f (t) ，即,而fn(t)满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所形成的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F (j)为,这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。,4.4 傅里叶变换,构造 f(t)=e-t ， 0,所以,又,因此， 12(),另一种求法： (t)1代入反变换定义式，有,将t，t-,再根据傅里叶变换定义式，得,6. 符号函数,4.4 傅里叶变换,7. 阶跃函数(t),
