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1、2014届高三数学(理科)模拟试题(九) 理科数学试题本试卷分第卷（选择题+填空题）和第卷（解答题）两部分第卷1至2页，第卷3至8页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷（选择题 共70分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则 ( )A. B. C. D. 2. 复数（）在复平面上所对应的点在第二象限上，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 3. 命题：“若，则”的逆否命题是 （ ）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，或，则4. 如左图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随
2、时间变化的可能图象是 （ ） A B C D 5. 已知抛物线方程为，过该抛物线焦点且不与轴垂直的直线交抛物线于两点，过点,点分别作垂直于抛物线的准线，分别交准线于两点，那么必是 （ ） A锐角 B直角 C钝角 D 以上皆有可能6. 记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 （ ）种种种 种7. 设定义在上的函数，若关于的方程有3个不同实数解、，且，则下列说法中正确的是：( )A . B . C . D . 8. 对于任意实数，符号表示不超过的最大整数,例如：，那么 （ ）A B C D 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小
3、题5分，满分30分请将答案填在答题卷恰当的位置.（一）必做题（913题）0.00010.00020.00030.00040.00051000 1500 2000 2500 3000 3500 4000月收入(元)频率/组距9. 设向量,若，则 ； 10. 某社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这人中再用分层抽样方法抽出人作进？一步调查，则在（元）的月收入段应抽出 人11的展开式中，常数项为 ；（用数字作答）12. 将这个自然数任意分成组,每组两个数,现将每组的两个数中任意一个记为,另一个数
4、记为,按右框图所示进行运算(注：框图中每次“输入”为同一组的值，且每组数据不重复输入.)，则输出的最大值为 ; 13. 已知函数的一个零点为，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线的离心率，则 ；的取值范围是 . (二)选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14. 已知参数方程，（参数），则该曲线上的点与定点的距离的最小值是 .15. 如图，是圆的内接三角形，是圆的切线，为切点，交于点，交圆于点，若， ，且,则 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤16. （本题满分12分）已知函数（）求函数的最小正周期及单调递增区间；（）已知，且，求的值17. （
5、本题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，. （）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望18. （本题满分14分）如右图所示,在直角坐标系中,射线在第一象限,且与轴的正半轴成定角,动点在射线上运动,动点在轴的正半轴上运动,的面积为.（）求线段中点的轨迹的方程;（）是曲线上的动点, 到轴的距离之和为,设为到轴的距离之积.问:是否存在最大的常数,使恒成立?若存在,求出这个的值;若不存在,请
6、说明理由.19. （本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，, 底面, ,为的中点，为的中点.（）证明：直线平面；（）求异面直线与所成角的大小； （）求点到平面的距离.20. （本题满分14分） 已知函数图象上一点处的切线方程为(）求的值；（）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；（）令，若的图象与轴交于，(其中)，的中点为，求证：在处的导数21. （本题满分14分）已知实数，曲线与直线的交点为(异于原点)，在曲线 上取一点，过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，接着过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，如此下去，可以
7、得到点，, . 设点的坐标为，.（）试用表示，并证明； （）试证明，且（）；（）当时，求证： （）. 参考答案及评分标准一选择题答案:二填空题答案：（一）必做题（913题）9. 10. 11. 12. 13. ; . (注：第一空2分，第二空3分.)(二)选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14. 15. 三解答题16（本题满分12分）解：（） 3分 4分（注：每个公式1分） 所以最小正周期为： 6分由，得 7分函数的单调增区间为 8分（）由，得 9分，或，即或 11分， 12分17. （本题满分12分）（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知 4
8、分（2）可取 5分， ；8分 故的分布列为 10分 答：的数学期望为 12分18. （本题满分14分）解：（1）射线. 1分设（），则， 3分又因为的面积为，所以； 4分 消去得点的轨迹的方程为：（）.7分（2）设，则， 8分 所以 9分 令则，所以有，11分则有：当时，所以在上单调递减， 所以当时， 13分所以存在最大的常数使恒成立. 14分19. （本题满分14分）方法一（综合法）（1）取中点，连接，又 2分4分（2） 为异面直线与所成的角（或其补角），作连接5分6分, ，7分, 8分所以 与所成角的大小为9分（3）,点和点到平面的距离相等，连接,过点作于点, 10分又 ,线段的长就是点到
9、平面的距离。11分， 12分，所以点到平面的距离为14分（方法不唯一，可酌情相应给分）方法二(向量法)作于点P,如图,分别以所在直线为轴建立坐标系. , 1分(1)设平面的法向量为,则 2分即 ， 取,解得. 4分(2)设与所成的角为,5分 ， 7分 , 即与所成角的大小为. 9分(3)设点到平面的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得. 13分所以点到平面的距离为 14分20（本题满分14分）解：（），且 2分解得 3分（），令，则，令，得（舍去）在内，当时， 是增函数；当时， 是减函数 5分则方程在内有两个不等实根的充要条件是6分即 8分（），假设结论成立，则有 9分，得 10分由得， 11分即，即令，（)， 12分则0在上增函数， ， 13分式不成立，与假设矛盾 14分21. （本题满分14分）解：（）点的坐标满足方程组，所以, 1分解得： ，故， 2分因为，所以故，故. 3分（）由已知，即：， 4分所以因为，所以. 5分下面用数学归纳法证明（）当时，成立；假设当时，有成立，（）则当时， 6分 所以 7分 所以当时命题也成立，综上所述由，知（）成立. 8分(注：此问答题如：只是由图可知，而不作严格证明，得分一
