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1、第三章 离散系统的时域分析,连续系统:用微分方程来描述，有卷积积分的概念。 离散系统:用差分方程来描述，有卷积和的概念。,离散系统：激励用 表示，响应用 表示。 初始状态用 表示。,连续系统与离散系统的比较,连续系统,常系数线性微分方程 卷积积分,离散系统,常系数线性差分方程 卷积和,本章主要内容,1、LTI离散系统的响应 2、单位序列和单位序列响应 3、卷积和,差分与差分方程 前向差分、后向差分以及差分方程 差分方程解 数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐次解和不同激励对应的特解 零输入响应和零状态响应,3.1 LTI离散系统的响应,一、差分与差分方程,1、一阶差分的定义及序列求和运算,一
2、阶前向差分定义为：,设有序列 ，则称 等为 的移位序列。,一阶后向差分定义为：,一阶前、后向差分的关系：, 3.1 LTI离散系统的响应,序列 求和运算为：,2、差分的线性性质：,差分具有线性性质。（证明如下）,由差分的定义，若有序列 和常数 则：,3、二阶及更高阶差分定义,类似地，可定义三阶、四阶等高阶差分.,4、差分方程,差分方程是包含关于变量 的未知序列 及其 各阶差分的方程式，它的一般形式可写为：,阶差分方程。,由于各阶差分均可写成 及其各移位序列的线 性组合，故通常所说的差分方程是指如下的形式：,阶差分方程。,例如,5、线性常系数差分方程,如果 及其各移位序列 均为 一次式，就称其为
3、线性的。,如果 及其各移位序列的系数均为 常数，就称 其为常系数差分方程。,*描述LTI离散系统的是线性常系数差分方程。,差分方程是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求得差分方程的数值解。 当差分方程阶次较低时可以使用此法,已知初始条件 ，激励 ， 求 。,例 3.1-1 若描述某离散系统的差分方程为,解：,类似地，依次迭代可得,差分方程的一般形式：,式中 都是常数。,二、差分方程的经典解,齐次解由形式为 的序列组合而成。 为特征方 程 的根，称为差分方 程的特征根。不同特征根所对应的齐次解形式不同。,表3-1不同特征根所对应的齐次解）,特解：特解的形式与激励的函数形
4、式有关，表3-2列出了几种不同激励所对应的特解。,表3-2 不同激励所对应的特解,全解：n阶线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为：,下面我们来看两道用经典法求解差分方程的例题。,解：首先求齐次解。特征方程为：,再求特解：根据激励的形式由表3-2可知特解,将 、 和 代入到原方程，得,于是特解,差分方程的全解,将初始条件代入，有,解：特征方程为,齐次解,由表3-2根据激励的形式可设特解：,代入原方程整理得：,差分方程的全解,将初始条件代入，有,自由响应 （瞬态响应）,强迫响应 （稳态响应）,当激励为有始周期序列或阶跃序列且系统特征根的模小于1时，系统
5、的自由响应会随着k的增大而衰减到0，因此自由响应部分又称为瞬态响应，而强迫响应部分称为稳态响应。,LTI离散系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和。,零输入响应：在零输入条件下，方程为齐次方程。若特 征根均为单根，则零输入响应为：,三、零输入响应和零状态响应,czii 由初始状态决定,零状态响应：若系统的初始状态为零，这时方程仍是非 齐次方程，若特征根均为单根，则其零状态响应为：,czsi由激励决定，且ci=czii+czsi,系统的全响应可分为自由响应和强迫响应，也可分为零 输入响应和零状态响应，它们的关系是：,一般而言，如果激励是在 时接入的，通常以 描述系统的初始状态。,yzs(-1)
6、=yzs(-2)=yzs(-n)=0,yzi(-1)=y(-1)，yzi(-2)=y(-2)，yzi(-n)=y(-n),初始值：y(0),y(1)y(n-1) 可由差分方程推出,例3.1-4 若描述某离散系统的差分方程为,已知f(k)=0,k0,初始条件y(-1)=0,y(-2)=1/2,求零输入响应,解：零输入响应满足,初始状态：,求初始值,差分方程的特征方程为：,齐次解为：,将初始值代入得：,（2）零状态响应 满足方程,由方程利用迭代可得：,先求,将 代入得,例3.1-5 若描述某离散系统的差分方程为,已知初始条件 激励 求零输入响应的初值 和零状态响应的初 值 。,零状态响应同上题：,本节小结,1、LTI离散系统差分方程的经典解 2、LTI离散系统的零输入响应和零状态响应,
