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1、二项式定理(一),( a + b ) 2 =,思考:(a+b)4的展开式是什么?,( a + b ) 3 =,复 习：,次数:各项的次数等于二项式的次数,项数:次数+1,( a + b ) 2 =,( a + b ) 3 =,复 习：,(a+b)2 (a+b) (a+b),展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2,这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b,恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21,恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22,每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20,对(a+b)2展开式的分析,(a+b)4 (a+b) (a+
2、b) (a+b) (a+b)？,问题： 1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？,2)各项前的系数代表着什么？,3)你能分析说明各项前的系数吗？,a4 a3b a2b2 ab3 b4,各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数,每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40,恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41,恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42,恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43,恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44,则 (a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 a
3、b3 C44 b4,3)你能分析说明各项前的系数吗？,a4 a3b a2b2 ab3 b4,( a + b ) n=,(a+b)n的展开式是：,二项定理,(a+b)n是n个(a+b)相乘，,每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能得到展开式的一项。,对于每一项akbn-k，它是由k个(a+b)选了a，n-k个(a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。,其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，n；,定理的证明,二项式定理： n N *,注:(1) 上式右边为二
4、项展开式, 各项次数都等于二项式的次数,(2) 展开式的项数为 n+1 项；,(3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n,(4)二项式系数可写成组合数的形式, 组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由0递增到n,(5) 展开式中的第 r + 1 项， 即通项 Tr+1 =_；,二项式定理： n N *,(6) 二项式系数为 _；,项的系数为 二项式系数与数字系数的积,在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：,在上式中，令 x = 1，则有：,1、展开,2、展开,3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。,4、(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数。,(2)求(x )9的展开式中x3的系数。,2(1)求 的展开式常数项； (2)求 的展开式的中间两项.,练习 1.求（2a+3b）6的展开式的第3项. 2.求（3b+2a）6的展开式的第3项. 3.写出 的展开式的第r+1项. 4.用二项式定理展开： （1） ； （2） . 5.化简： （1） ； （2）,
