信号与系统第四章1连续信号的傅里叶级数

《信号与系统第四章1连续信号的傅里叶级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统第四章1连续信号的傅里叶级数（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 周期信号的傅里叶变换 4.7 LTI连续系统的频域分析 4.8 取样定理,本章主要内容:,变换域分析的基本思想仍为：将信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应（零状态响应）。,2,在第二章中我们以,为基本信号将任意信号进行分解,其中h(t)反映了系统的特性。,任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或 虚指数函数之和。,任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的

2、正弦或虚 指数函数积分。,3,4,信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的 概念相似。,矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。,4.1 信号分解为正交函数,5,（2）正交函数集 在区间 上的n个函数（非零） ,其中任意两个均满足 为常数，则称函数集 为区间 内的正交函数集。,（1）正交函数 在 区间上定义的非零实函数 和 若满足条件 则函数 与 为在区间 的正交函数。,一、正交函数集,6,（3）完备正交函数集,在区间 内组成完备正交函数集。,对于复函数:,若复函数集 在区间 满足,，则称此复

3、函数集为正交函数集。,7,复函数集 在区间 内是完备的正交函数集。,其中 。,二、信号分解为正交函数,8,f(t)C11+ C22+ Cnn,如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。,通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为,9,为使上式最小,展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为,即,所以系数,10,代入，得最小均方误差（推导过程见教材）,在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有,上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2)

4、f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和,11,根据最小均方误差原则，可推出：,式中：,12,4.2 傅里叶级数,将周期信号,在区间,内展开成完,备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形傅 里叶级数”，统称为傅里叶级数。,13,一、周期信号的分解,其中 称为傅里叶系数， 。,14,那么,傅里叶系数如何求得呢?,式中：,15,由上式可见， 是 的偶函数 ， 是 的奇函数，,16,则有,17,可见，任何满足狄里赫利

5、条件的周期信号均可分解为直 流分量 ，一次谐波或基波 ，它的角 频率与原周期信号相同，二次谐波 ， 以此类推，三次，四次等谐波。,一般而言 称为 次谐波 ， 是 次谐波的振幅， 是其初相角。 *结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。,18,例4.2-1 将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。,解：,19,20,21,它仅含有一、三、五、七 等奇次谐波分量。,如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：,22,23,（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号。,（2）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。,（3）即使 ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有 的偏差。但在均

6、方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。 (吉布斯现象）,主体 -低频 细节-高频,24,若给定的 有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零从而式计算较为简便。,（1） 为偶函数,则有 ，波形对称于纵坐标。,二、奇偶函数的傅里叶系数,25,从而有,26,27,进而有,这时有,28,实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。,其中,*一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关，而且与原点的选择有关。,29,例4.2-2 正弦交流信号 经全波或半波整流后的波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。,（a）全波整流信号 （b）半波整流信号,解 （1）全波整流信号,图（a）的全波整流信

7、号可写成（其周期 ， 为原正弦信号角频率 ）,30,由于它是t的偶函数，故 ，,31,32,可见，它除直流外，仅含有 的偶次谐波。,33,想一想：本题中若把 f1(t)看成以T/2为周期，则,34,由于它仍是的偶函数，故 ，,35,令 ，则 对上式进行变量替换:,36,37,（2）半波整流信号,图（b）的半波整流信号可写为（其周期 ）,38,它的傅里叶级数可直接由下式求出,39,40,41,42,本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分：,43,44,讨论 关于n的奇偶性。,是n的偶函数。,是n的奇函数。,是n的偶函数。,是n的奇函数。,45,（3）偶半波对称,偶半对称信号的第二个半周波形与第一

8、个半周波形相同，其基波频率为20，进行傅立叶级数展开时只含有偶次谐波项，所以偶半波对称信号有时称为偶谐信号。,周期信号的对称性与傅立叶系数,n为偶数时,n为奇数时,n为偶数时,46,（4）奇半波对称,周期信号的对称性与傅立叶系数,n为偶数时,n为奇数时,n为奇数时,47,周期信号的对称性与傅立叶系数,的对称条件,展开式中的的系数特点,纵轴对称（偶函数）,原点对称（奇函数）,半周重叠（偶谐函数）,半周镜像（奇谐函数）,无偶次谐波，只有奇次谐波,无奇次谐波，只有直流偶次谐波,48,解:,例：有一偶函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。,f(t) 在一个周期内可写为如下形式,f(t)

9、 是偶函数，故,周期信号的对称性与傅立叶系数,49,周期信号的对称性与傅立叶系数,50,解:,例：有一奇函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。,f(t) 在一个周期内可写为如下形式,f(t) 是奇函数，故,周期信号的对称性与傅立叶系数,51,周期信号的对称性与傅立叶系数,52,解:,例：有一奇谐函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。,f(t) 在一个周期内可写为如下形式,周期信号的对称性与傅立叶系数,53,周期信号的对称性与傅立叶系数,54,周期信号的对称性与傅立叶系数,55,解:,例：有一偶谐函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。,周期信号的对

10、称性与傅立叶系数,56,周期信号的对称性与傅立叶系数,57,从数学上来讲，并不是任何周期信号都可以展开成傅立叶级数的。以 T 为周期的周期信号 f (t) ，在展成傅立叶级数时，必须满足下列三个条件：,(1) 函数 f (t) 在一个周期内必须绝对可积，即 (2) 在一个周期内 f (t) 只有有限个极大值和极小值。 (3) 在一个周期内 f (t) 只有有限个不连续点，而且在不连续点处， f (t) 值是有限的。 上述三个条件称为狄里赫利条件。,傅立叶级数的收敛性,58,满足狄里赫利条件的信号 f (t) ，其傅立叶级数将在所有连续点收敛于 f (t) ，而在不连续点上将收敛于的左极限和右极

11、限的平均值。也即若在 t1 点连续，则,若 f (t) 在 t1 点处不连续，则,狄里赫利条件表明，能够用傅立叶级数表示的函数不一定都是连续函数。满足狄里赫利条件的不连续函数，在所有不连续点上，级数的总和等于左右极限和的平均值。,傅立叶级数的收敛性,59,周期信号用傅立叶级数表示时，理论上需要无限多项才能逼近原波形。如果用有限项来逼近，则称为部分和。如果截取 NN 项，此时函数 f (t)用 表示，即,有限项傅立叶级数,60,T=1 时，N=1,3,5 。从图中可以看出，在不连续点附近，部分和有起伏，其峰值几乎与N无关。随着N的增加，部分和的起伏就向不连续点压缩，但是对有限的N值，起伏的峰值大

12、小保持不变而趋于一个常数，它大约,等于总跳变值的9，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象叫吉伯斯(J. Gibbs)现象。为了消除Gibbs现象，在取有限项傅立叶级数的时候可加平滑谱窗进行处理。,有限项傅立叶级数,61,三、傅里叶级数的指数形式,将上式第三项中的 用 代换，并考虑到 是 的偶函数，即 ； 是 的奇函数, 则上式可写为 :,62,如将上式中的 写成 （ ）， 则上式可以写成:,63,令复数量 ，称其为复傅里叶 系数，简称傅里叶系数。其模为 ，相角为 ， 则得傅里叶级数的指数形式为,64,复傅里叶系数,65,这就是求指数形式傅里叶级数的复系数 的公式。,任意周期信号 可分解为许多不同频率的虚指数信号 之和，其各分量的复数幅度（或相量）为 。,66,与 互为共轭。,与 的关系。,67,三角形式傅里叶级数：,68,指数形式傅里叶级数：,任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函 数或虚指数函数之和。,69,复傅里叶系数 与 ， ， 的关系,70,本节小结,1、傅里叶级数的两种形式 2、傅里叶系数的奇偶性,三角形式 指数形式,