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1、2012年上海市初三数学压轴题分类一、三等角模型结合动点问题： 利用三等角构成的相似三角形，构建边与边之间的函数关系三等角结合等腰梯形，常见辅助线的添加，比如高，平移腰等（杨浦崇明合卷）1、梯形ABCD中，AD/BC，ABC=（），AB=DC=3，BC=5。点P为射线BC上动点（不与点B、C重合），点E在直线DC上，且APE=。记PAB=1，EPC=2，BP=x，CE=y。（1）当点P在线段BC上时，写出并证明1与2的数量关系；（2）随着点P的运动，（1）中得到的关于1与2的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x的取值范围； （备用
2、图）DCBAABCDPE（3）若，试用x的代数式表示y。 1）1=2 证明：APC=ABC+1，又APC=APE+2， ABC+1=APE+2， ABC=APE，1=2 （2）会改变，当点P在BC延长线上时，即时， 1与2的数量关系不同于（1）的数量关系。解：APE=ABC，APB=2， ABC+BAP+APB=1800，+1+2=1800， 12=18002。（3）情况1：当点P在线段BC上时，1=2，B=C，ABPPCE， PCEBMD12GK， 即，。情况2：当点P在线段BC的延长线上时，可得EPCEGP， 作AM/CD，可得作EKBP，由得，于是即亦即三等角结合矩形（矩形性质运用，以及
3、直角三角形相关定理）（2012黄浦、卢湾一模25题）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，EFCE交AD于点F，过点E作AEH=BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N.(1) 如图a，当点H与点F重合时，求BE的长；(2) 如图b，当点H在线段FD上时，设BE=x，DN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；(3) 联结AC，当FHE与AEC相似时，求线段DN的长.25（1），.（2）过点作，垂足为点.，.（3）， ，.当与相似时，）若， ，（2分）图1)若，如所示，记与交于点.， ，,，设，则， ，综上所述，线段的长为或1.（2012长宁一模24题）如图，在矩
4、形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角边中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E.(1) 判断EAP与PDC一定相似吗？请证明你的结论；(2) 设PD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；(3) 是否存在这样的点P，使EAP周长等于PDC的周长的2倍？若存在，请求出PD的长；若不存在，请简要说明理由。解：（1） 当在边上时，如图(1) 矩形，据题意 当在边上时，如图(2) 同理可得 解：（2）若点在边上，据题意： 又 若点在边延长线上时，据题意，则， 解：（3）假如存在这样的点，使周长等于的2倍 若点在
5、边上 ，不合题意舍去 若点在边延长线上，同理得 综上所述：存在这样的点满足题意，此时三等角结合等边三角形，等边三角形中特殊角的性质运用（2012普陀一模25题）把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图a放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形版ABC固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为.其中090，射线DF与线段BC相交于点N（如图b所示）.(1) 当060时，求AMCN的值.(2) 当060时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定
6、义域.(3) 当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积.解: （1） ABC和DEF是等边三角形 3 = C = A = 60 1 + 3 = 2 + C 1 = 2 AMDCDM AM*CN = AD*CD AD = CD = 2 AM*CN = 4 （2）过点D作DPAB，DQBC，垂足分别是点P、Q 在RtAPD中，得PD = 同理：DQ = AM = x，CN = SMBNC = SABC - SAMD - SCDN （3） 如图，当BM = 1时，AM = 2，即x = 2所以 y = ，即两块三角板重叠部分为 如图，过点D作DGBC，交AB于点G，DG = 2设DE与BC的交点为
7、R 由DGBC，得： ，BR = 1 AM = 6 CN = RN = ,SDRN = （2012嘉定一模25题）如图1，已知等边ABC的边长为6，点D是边BC上的一个动点，折叠ABC，使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF（点E、F分别在边AB、AC上）.(1) 当AE：AF=5:4时，求BD的长；(2) 当EDBC时，求的值；(3) 当以B、E、D为顶点的三角形与DEF相似时，求BE的长.25解：（1）ABC是等边三角形， ，. 由题意可知 AEFDEF，. 1分， ，ABCDEF图13-1.又， . ， BDECFD. 1分方法BDECFD， .设,则由知，,，. 设，则.ABCD
8、EF图13-2MN . 即 整理，得 解得，即. 方法 BDECFD， （相似三角形的周长的比等于相似比）.1分又,， .解得：. 1分方法 过点A作，过点D作（如图132）1分设,，依题意易得，,，.在RtBEM中， , , 在RtFDN中， , ,易证DEMFDN，. 1分进而可得 ,整理，得 （1）1分在RtFDN中，依据勾股定理可得 （2）整理（2），并将（1）代入（2），可得 . 解得（不合题意，舍去），. 即 . 1分ABCDEF图13-3H（2）当时，如图133.，. 1分 过点作，垂足为.，. 1分 在中，1分 在中，1分 在中，. . 1分（3）分两种情况讨论：当以、为顶点的
9、三角形与DEF相似，顶点、分别与、对应时，可得. .，.易得AEF、DEF、DFC、DEB是四个边长相等的等边三角形. 1分. 1分当以、为顶点的三角形与DEF相似，顶点、分别与、对应时，可得.ABCDEF图13-1又 ，. 1分易得AEF、DEF、DFC、DEB四个边长相等的等边三角形. 1分综上所述，当以、为顶点的三角形与DEF相似时，.1分若没有充分运用已知条件，而是依据直觉发现“当四个小三角形是边长相等的等边三角形时，可满足已知条件”，从而得到，可得3分.二、直角旋转型 此类问题往往旋转中心通过向直角两边作垂线段构建全等或相似（普陀二模）2、已知，是的平分线，点P在上，将三角板的直角顶
10、点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G（1）如图9，当点F在射线CA上时，求证： PF = PE设CF= x，EG=y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域 （2）联结EF，当CEF与EGP相似时，求EG的长图9备用图 （1）证明：过点P作PMAC，PNBC，垂足分别为M、N 是的平分线，PMPN由，得，PMFPNE PF = PE 解：， PMFPNE， CFPN， （0x1）（2）当CEF与EGP相似时，点F的位置有两种情况：当点F在射线CA上时，在RtEGP中， 当点F在AC延长线上时，易证，可得易证PMFPNE，可得CFPN， （09上海中考）25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图8所示）（1）当，且点与点重合时（如图9所示），求线段的长；（2）在图8中，联结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；ADPCBQ图8DAPCB（Q）图9图10CADPBQ（3）当，且点在线段的延长线上时（如图10所示），求的大小 解：（1）AD=2，且Q点与B点
