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1、复变函数,教材：复变函数论(钟玉泉) 主讲：方成玲 电话：15723207316,为什么要学复变函数,拿学分 复变函数论是数学与应用数学专业的一门重要基础课，又是数学分析后继化、完备化课程。它在微分方程、概率论等等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一,复变函数论要学什么,复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的幂级数表示法 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 留数理论及其应用,怎样拿学分,勤于自学 认真完成作业,考核办法,闭卷 计分方式：期末70%， 平时30% 平时点名不到或者迟到按一学期以来点名次数扣分。上课主动回答问题并正确酌情加分。,交作业的注意事项,单周的第
2、一次课交作业 作业每个班分为三组。比如一个班有30人，则第一组为学号为前十的同学，第二组为学号为学号为中间十个同学，剩下的为第三组。,第一章 复数与复变函数,第一节 复数,第二节 复平面上的点集,第三节 复变函数,第四节 复球面与无穷远点,第一节 复数,1. 虚数单位:,对虚数单位的规定:,一、复数的概念,虚数单位的特性:,2.复数:,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,注：实数可以比较大小,但复数不能比较大小.,二、复数的代数运算,1. 两复数的代数和:,2. 两复数的积:,3. 两复数的商:,4. 共轭复数:,实部相同而虚部绝对
3、值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,6. 共轭复数的性质:,例1,解,5. 复数域: 全体复数在四则运算这个代数结构下构成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学中所研究的域的概念的实例.,例2,证,例3,解 设,三、复平面,1. 复数的模,显然下列各式成立,2. 复数的辐角,辐角不确定.,辐角主值的定义:,3. 利用平行四边形法求复数的和差,4. 复数和差的模的性质,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,5.复数的三角表示和指数表示,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,例1,解,6.复数在几何上
4、的应用举例,下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形。,例1,求下列方程所表示的曲线:,解,化简后得,1.乘积与商,定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,四、复数的乘幂与方根,两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.,从几何上看, 两复数对应的向量分别为,注,由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.,对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.,定理二,两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,2.幂与根,
5、n次幂:,推导过程如下:,棣莫佛公式,根据棣莫佛公式,当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.,从几何上看,例1,解,即,1.2.1 复平面点集的几个基本概念,定义1.1 邻域:,记作: 或,N(z0)=z | |z-z0|,记作： 或 N0(z0)=z | 0|z-z0|,第二节 复平面上的点集,定义1.2 聚点、外点、孤立点,如果z0属于E ，但不是E 的聚点，则称z0为E的孤立点.,如果z0不属于E ，又不是E的聚点，则称z0为E的外点.,z0为E的孤立点0: N(z0)E=z0,z0为E的外点0: N(z0)E=,定义1.3 内点、开集、边界点、边界、闭集:,如果E内每一点都是它的
6、内点,那末E称为开集.,如果在z0的任意一个邻域内,都有属于 E 的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。,z0为E的内点0: N(z0)E,点集E的全体边界组成的集合称为E的边界.记为:E,若点集E的每个聚点都属于E,则称E为闭集；任何集合E的闭包 一定是闭集.,定义1.4 有界集和无界集:,z,x,y,有界！,o,例1 圆盘,N(z0)=z | |z-z0|,是有界开集；,闭圆盘,是有界闭集。,例2 集合 ,圆心,它是 的孤立点，是集合 的聚点。,定义1.5 区域:,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.,(1) D是一个开集；,(2) D是连通的,就是说D中任何两点都可
7、以用完全属于D的一条折线连结起来. D加上D的边界称为闭域。,1.2.2 区域与Jordan曲线,记为DD+D,z1 ,z2 ,D,说明,(2) 区域边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成.,(1) 区域都是开的.,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,定义1.6 连续曲线:,平面曲线C的复数表示:,C的实参数方程,C的复参数方程,起点z(),C终点z(),z,x,y,C,C的正向：起点终点,o,没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若当(Jordan)曲线).,重点,重点,重点,换句话说, 简单曲线自身不相交.,简单曲线是z平面上的一个有界闭集.,简单闭曲线的性质若当(Jordan)定
8、理,任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成C,I(C),E(C) 三个互不相交的点集.满足：,I(C),E(C),边界,（1）I(C) 是一个有界区域（称为C的内部）.,（2）E(C) 是一个无界区域（称为C的外部）.,（3）若简单折线P的一个端点属于I(C)，另一个端点属于E(C) ，则P必与C相交.,（4）C是I(C)，E(C) 的公共边界.,定义1.7 可求长曲线:,设连续弧C的参数方程为:,任取实数列,考虑C上对应点列,将它们用一折线 连接起来，,有上界，则称C为可求长的，上确界称为C的长度。,的长度为 。,若对所有数列 ，,光滑曲线C:,特点,（1）光滑曲线上的各点都有切线,（2
9、）光滑曲线可以求长,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线.,分段光滑曲线必是可以求长的，但简单曲线或简单闭曲线却不一定可求长。,单连通域与多连通域的定义:,复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域.,单连通域,多连通域,简单闭曲线的方向：沿着一条简单闭曲线C前行时，C的内部总在左侧，此方向称为曲线C的正向，否则，称为负向。,o,x,y,解,无界的单连通域(如图).,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,表示到1, 1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连
10、通域.,有界的单连通域.,1.定义:,第三节 复变函数,2.单(多)值函数的定义:,3.函数的定义域和值域:,1.3.1 复变函数的定义,4. 复变函数与自变量之间的关系:,1.3.2 映射的概念,1. 引入:,2.映射的定义:,1.3.2 映射的概念,x,u,G,G*,Z平面,z,w,W=f(z),v,y,W平面,3. 几个特殊的映射:,且是全同图形.,根据乘法公式, 映射,由于w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy ,于是 u = x2-y2, v = 2xy,将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.,u,v,4. 反函数的定义:,根据反函数的定义,当反函数为
11、单值函数时,今后不再区别函数与映射.,1.3.3 复变函数的极限,1.函数极限的定义:,注意:,2. 极限的计算性质,定理一,证(1) 必要性.,有,(2) 充分性.,则对于任意,证毕,定理二,与实变函数的极限运算法则类似.,证 (二),例1,证 (一),根据定理一可知,例2,证,根据定理一可知,1. 连续的定义:,连续的 三要素:,（1） f(z)在z0处有定义,（2）f(z)在z0处有极限,（3）f(z)在z0处的极限值等于函数值,1.3.4 复变函数的连续性,定理1.3,例如,2. 连续函数的性质,特别地，(1) 有理整函数(多项式),(2) 有理分式函数,在复平面内使分母不为零的点也是
12、连续的.,例1,证 设,由于,3.有界闭集上连续函数的性质,0, 0,z1, z2E,当|z1- z2|时,有|f(z1)-f(z2)|.,定理1.7 设E是有界闭集，f(z)C(E),则有：,（1） f(z)在E上有界：,（2） |f(z)|在E上有最大（小）值， 即：,（3） f(z)在E上一致连续，即,例2,证,4. 复变函数的极限性质,定理1(Bolzano-Weiestrass聚点定理) 每一个有界无穷点集至少有一个聚点。,定理2(闭集套定理),定理3(Heine-Borel有限覆盖定理),一、复球面,1. 南极、北极的定义,第四节 复球面与无穷远点,2. 复球面的定义,球面上的点,
13、 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.,x,y,O,N,S,z,P(z),z,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.,规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作 . 因而球面上的北极N就是复数无穷大 的几何表示.,以上对应可以用公式表示为：,3. 扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,简称复平面.,复球面能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.,4. 无穷远点,关于无穷远点,规定其实部、虚部、辐角无意义,模等于:,它和有限复数的基本运算为：,这些运算无意义：,二. 扩充复平面上的几个概念,1 无穷远点的邻域:,无穷远点的去心邻域:,注,2 在扩充复平面上单连通区域:,解,例1,注 考虑一个无界区域是否为单连通,应看在通常的复平面上还是扩充复平面上。,3 广义极限与广义连续,广义极限,广义连续,例2,证明,由于,
