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1、 一元二次方程的概念及解法知识图谱1、一元二次方程知识精讲一一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项判断是一元二次方程的标准：整式方程 一元方程 二次方程二一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根三点剖析一考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解二重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解三易错点：1. 确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项-二次项的系数是否为零即可；2. 注意对于关于的方程，当时
2、，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程；3. 一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看题模精讲题模一：概念例1.1.1 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 例1.1.2 方程是关于x的一元二次方程，则_例1.1.3 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_例1.1.4 方程的二次项系数是_，一次项系数是_，常数项是_题模二：解例1.2.1 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_例1.2.2 已知是关于x的方程的一个根，则的值为_随堂练习随练1.1 若是关于x的一元二次方程，则m的值为_。随练1.2 关于的方程，当_时是一元一次方程；当_时是一元二次
3、方程随练1.3 若一元二次方程的常数项为零，则的值为_随练1.4 若关于x的一元二次方程（a+1）x2+xa2+1=0有一个根为0，则a的值等于（）A 1B 0C 1D 1或者1随练1.5 已知方程的两根分别是、，则_随练1.6 若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=_随练1.7 若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（）A 2018B 2008C 2014D 20122、直接开平方法知识精讲一直接开平方法若，则叫做的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法二直接开平方法的基本类型1 解为：2
4、解为：3 解为：4 解为：三点剖析一考点：直接开平方法二重难点：直接开平方法三易错点：直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成的形式题模精讲题模一：直接开平方法例2.1.1 求下面各式中的值：（1）；（2）例2.1.2 求的值：随堂练习随练2.1 解下列方程：（1） （2） （3）随练2.2 解关于的方程：随练2.3 若方程有实数根，则a的取值范围是_.随练2.4 解关于的方程：3、配方法知识精讲一配方法配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法二配方法的一般步骤：运用配
5、方法解形如的一元二次方程的一般步骤是：1二次项系数化；2常数项右移；3配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）；4化成的形式；5若，选用直接开平方法得出方程的解三点剖析一考点：配方法二重难点：配方法解一元二次方程，配方法求解最值或取值范围三易错点：在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是则利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解题模精讲题模一：配方法例3.1.1 用配方法解方程：例3.1.2 用配方法解下列方程：（1）（2）（3）（4）例3.1.3 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（ ）A B C D 例3.1.4 用配方法解关于的方程（为已知常数）例
6、3.1.5 已知，、为实数，求的值题模二：最值问题例3.2.1 试用配方法说明的值恒大于例3.2.2 已知、为实数，求代数式的最小值例3.2.3 已知，是整数，且，求的值随堂练习随练3.1 用配方法解方程：随练3.2 若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则随练3.3 已知，均为实数，且，求的值随练3.4 用配方法说明的值恒小于随练3.5 已知，为实数，求代数式的最小值4、公式法知识精讲一公式法公式法：一元二次方程，用配方法将其变形为：根的判别式，是方程的两根，若，则二公式法解一元二次方程的一般步骤1把方程化为一般形式；2确定、的值；3计算的值；4若，则代入公式求方程的根；5若，则方程无解三
7、判别式与根的关系1时，原方程有两个不相等的实数解；2时，原方程有两个相等的实数解；3时，原方程没有实数解三点剖析一考点：公式法二重难点：利用公式法求解一元二次方程，利用判别式判断根的情况三易错点：在用公式法求解方程的解时，一定要判断“”的取值范围，只有当时，一元二次方程才有实数解题模精讲题模一：公式法例4.1.1 用公式法解关于的一元二次方程例4.1.2 解方程：x2+4x1=0例4.1.3 解方程例4.1.4 用公式法解关于的一元二次方程例4.1.5 解方程：题模二：判别式与根的关系例4.2.1 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（）A x2+1=0B x23x+1=0C x22
8、x+1=0D x2x+1=0例4.2.2 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）A B C 且D 且例4.2.3 关于x的方程（a-6）x2-8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（）A 6B 7C 8D 9随堂练习随练4.1 用公式法解一元二次方程随练4.2 解方程随练4.3 解关于的方程：随练4.4 解关于的方程随练4.5 下列一元二次方程中无实数解的方程是（）A x2+2x+1=0B x2+1=0C x2=2x-1D x2-4x-5=0随练4.6 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A B C 且D 且随练4.7 已知关于x的一元
9、二次方程（m-1）x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A m-且m1B m且m1C mD m-且m05、因式分解法知识精讲一因式分解法 因式分解法：当一元二次方程的一边是，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于，那么这两个因式至少有一个为，即：若，则或三点剖析一考点：因式分解法解一元二次方程二重难点：利用提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等方法解一元二次方程三易错点：没有化成的形式，例如由直接得到从而导致漏解或者直接得到从而导致错解题模精讲题模
10、一：因式分解法例5.1.1 用因式分解法解方程：例5.1.2 用因式分解法解方程：例5.1.3 用因式分解法解方程：例5.1.4 用因式分解法解方程：，（、为常数）随堂练习随练5.1 用因式分解法解方程：随练5.2 用因式分解法解方程：随练5.3 用因式分解法解方程：随练5.4 用因式分解法解关于的一元二次方程（）6、根与系数的关系知识精讲一韦达定理如果的两根是，则，（隐含的条件：） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为时，设，是方程的两个根，则，二韦达定理与根的符号关系在的条件下，若，是的两根（其中）我们有如下结论：1，若，则；若，则2若，则；若，则更一般的结论是：若，是的两根（其中），且为
11、实数，当时，一般地：（1），（2）且，（3）且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件三点剖析一考点：韦达定理二重难点：韦达定理的应用1已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；2已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；3已知方程的两根，求作方程；4结合根的判别式，讨论根的符号特征；5逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理三易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验是否成立题模精讲题模一：韦达定理例6.1.1 若方程的一个根为，则方程的另一个根为_，_例6.1.2 设、是方程的两个不同的实根，且，则的值是 例6.1.3 如果，都是质数，且，求的值随堂练习随练6.1 已知，是有理数，并且方程有一个根是，那么_随练6.2 已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求的值随练6.3 已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，求的取值范围随练6.4 如果实数分别满足，求
