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1、北京新东方学校北京新东方学校 考研数学考研数学 概率与统计讲义概率与统计讲义 (强化班)(强化班) 主编:费允杰主编:费允杰 新东方考研数学教材编委会: 费允杰、汪诚义、尤承业、刘西垣、李昂、孙杨 严禁翻印严禁翻印 违法必究违法必究 目目 录录 第一章 随机事件和概率1 第一节第一节 基本概念基本概念1 1、概念网络图1 2、重要公式和结论1 第二节第二节 重点考核点重点考核点6 第三节第三节 常见题型常见题型6 1、事件的运算和概率的性质6 2、古典概型和几何概型7 3、条件概率和乘法公式7 4、全概和贝叶斯公式7 5、独立性和伯努利概型8 第四节第四节 历年真题历年真题9 数学一:9 数学
2、三:10 数学四:12 第二章 随机变量及其分布.15 第一节第一节 基本概念基本概念15 1、概念网络图15 2、重要公式和结论15 第二节第二节 重点考核点重点考核点20 第三节第三节 常见题型常见题型20 1、常见分布20 2、函数分布22 第四节第四节 历年真题历年真题22 数学一:22 数学三:23 数学四:25 第三章 二维随机变量及其分布 .28 第一节第一节 基本概念基本概念28 1、概念网络图28 2、重要公式和结论29 第二节第二节 重点考核点重点考核点35 第三节第三节 常见题型常见题型35 1、二维随机变量联合分布函数35 2、随机变量的独立性36 3、简单函数的分布3
3、7 第四节第四节 历年真题历年真题38 数学一:38 数学三:40 数学四:42 第四章 随机变量的数字特征.45 第一节第一节 基本概念基本概念45 1、概念网络图45 2、重要公式和结论45 第二节第二节 重点考核点重点考核点49 第三节第三节 常见题型常见题型49 1、一维随机变量及其函数的数字特征49 2、二维随机变量及其函数的数字特征50 3、独立和不相关51 4、应用题52 第四节第四节 历年真题历年真题52 数学一:52 数学三:54 数学四:58 第五章 大数定律和中心极限定理63 第一节第一节 基本概念基本概念63 1、概念网络图63 2、重要公式和结论63 第二节第二节 重
4、点考核点重点考核点65 第三节第三节 常见题型常见题型65 1、大数定律65 2、中心极限定理65 第四节第四节 历年真题历年真题66 数学一:66 数学三:66 数学四:67 第六章 数理统计的基本概念.68 第一节第一节 基本概念基本概念68 1、概念网络图68 2、重要公式和结论68 第二节第二节 重点考核点重点考核点70 第三节第三节 常见题型常见题型70 1、统计量的性质70 2、统计量的分布71 第四节第四节 历年真题历年真题71 数学一:71 数学三:72 第七章 参数估计.76 第一节第一节 基本概念基本概念76 1、概念网络图76 2、重要公式和结论76 第二节第二节 重点考
5、核点重点考核点79 第三节第三节 常见题型常见题型79 1、矩估计和极大似然估计79 2、估计量的优劣80 3、区间估计80 第四节第四节 历年真题历年真题81 数学一:81 数学三:82 第八章 假设检验.85 第一节第一节 基本概念基本概念85 1、概念网络图85 2、重要公式和结论85 第二节第二节 重点考核点重点考核点86 第三节第三节 常见题型常见题型87 1、单正态总体均值和方差的假设检验87 2、两类错误87 第四节第四节 历年真题历年真题88 数学一:88 数学三:88 考研数学概率与统计(强化班)例题答案.89 考研数学概率与统计(强化班)历年真题答案97 第一章第一章 随机
6、事件和概率随机事件和概率 第一节第一节 基本概念基本概念 1 1、概念网络图、概念网络图 公公公公公 公公公公公 /)( 独立性 全概公式 和乘法公式条件概率 减法 加法 五大公式 几何概型 古典概型 随机事件 样本空间 基本事件 随机试验BCCB CB CB AP A E 2 2、重要公式和结论、重要公式和结论 (1)排列 组合公式 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 )!( ! nm m P n m 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 )!( ! ! nmn m C n m (2)加法 和乘法原 理 加法原理(两种方法均能完成此事):加法原理(两种方法均能完成此事)
7、:m+nm+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):mnmn 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由 n 种方法来完成,则这件事可由 mn 种方法来完成。 (3)一些 常见排列 重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题 (4)随机 试验和随 机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个, 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种
8、试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。 (5)基本 事件、样 本空间和 事件 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具 有如下性质: 每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; 任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。 一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母 A,B,C,表示事件,它们是的子集。 为必然事件, 为不可能事件。 不可能事件()的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理, 必然事件()的概率为 1,而概
9、率为 1 的事件也不一定是必然事件。 (6)事件 的关系与 运算 关系: 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分, (A发生必有事件B发生): BA 如果同时有,则称事件A与事件B等价,或称A等于BA AB B:A=B。 A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A 与 B的差,记为A-B,也 可表示为A-AB或者,它表示A发生而B不发生的事件。BA A、B同时发生:AB,或者AB。AB=,则表示 A 与 B 不可能同时发生, 称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事
10、件,记为A。它表示 A 不发 生的事件。互斥未必对立。 运算: 结合率:A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率:(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率: 11i i i iAA , BABABABA (7)概率 的公理化 定义 设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数 P(A),若 满足下列三个条件: 1 0P(A)1, 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件1A,2A,有 11 )( i i i iAPAP 常称为可列(完全)可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。 (8)古典 概型 1 , n 21, 2 。 n PPP n 1
11、 )()()( 21 设任一事件A,它是由组成的,则有 m 21, P(A)= =)()()( 21m )()()( 21m PPP n m 基本事件总数 所包含的基本事件数A (9)几何 概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本 空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为 几何概型。对任一事件 A, 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。 )( )( )( L AL AP (10)加 法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时,P(A+B)=P(A)+P(B) (11)减 法公式 P(A-B)=P
12、(A)-P(AB) 当 BA 时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A= 时,P()=1- P(B)B (12)条 件概率 定义 设 A、B 是两个事件,且 P(A)0,则称为事件 A 发生条件下, )( )( AP ABP 事件 B 发生的条件概率,记为。)/(ABP )( )( AP ABP 条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B (13)乘 法公式 乘法公式:)/()()(ABPAPABP 更一般地,对事件 A1,A2,An,若 P(A1A2An-1)0,则有 21(AAP )nA)|()|()(213121AAAP
13、AAPAP 21|(AAAPn )1nA 。 (14)独 立性 两个事件的独立性两个事件的独立性 设事件A、B满足 )()()(BPAPABP ,则称事件A、B是相互独立 的。 若事件A、B相互独立,且 0)(AP ,则有 )( )( )()( )( )( )|(BP AP BPAP AP ABP ABP 若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互 独立。 必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件,如果满足两两独立的条件, P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=
14、P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 (15)全 概公式 设事件 nBBB,21 满足 1 nBBB,21 两两互不相容, ), 2 , 1(0)(niBPi , 2 n i iBA 1 , 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP 。 (16)贝 叶斯公式 设事件1B,2B, nB及A满足 1 1B,2B, nB两两互不相容, )(BiP 0, i 1,2,n, 2 n i iBA 1 , 0)(AP , 则 ,i=1,2,n。 n j jj ii i BAP
15、BP BAPBP ABP 1 )/()( )/()( )/( 此公式即为贝叶斯公式。 , ( 1i ,2,n) ,通常叫先验概率。)( i BP , ( 1i ,2,n) ,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了)/(ABP i “因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。 (17)伯 努利概型 我们作了n次试验,且满足 每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生; n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样; 每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与 否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。 用 p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为qp 1 ,用 )(kPn 表示n重伯努利试验中A出现 )0(nkk 次的概率, knk k n nqpkP C )( , nk, 2 , 1 , 0 。 例 11: