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1、北京新东方学校北京新东方学校 考研数学考研数学 概率与统计讲义概率与统计讲义 （强化班）（强化班） 主编：费允杰主编：费允杰 新东方考研数学教材编委会： 费允杰、汪诚义、尤承业、刘西垣、李昂、孙杨 严禁翻印严禁翻印 违法必究违法必究 目目 录录 第一章 随机事件和概率1 第一节第一节 基本概念基本概念1 1、概念网络图1 2、重要公式和结论1 第二节第二节 重点考核点重点考核点6 第三节第三节 常见题型常见题型6 1、事件的运算和概率的性质6 2、古典概型和几何概型7 3、条件概率和乘法公式7 4、全概和贝叶斯公式7 5、独立性和伯努利概型8 第四节第四节 历年真题历年真题9 数学一：9 数学
2、三：10 数学四：12 第二章 随机变量及其分布.15 第一节第一节 基本概念基本概念15 1、概念网络图15 2、重要公式和结论15 第二节第二节 重点考核点重点考核点20 第三节第三节 常见题型常见题型20 1、常见分布20 2、函数分布22 第四节第四节 历年真题历年真题22 数学一：22 数学三：23 数学四：25 第三章 二维随机变量及其分布 .28 第一节第一节 基本概念基本概念28 1、概念网络图28 2、重要公式和结论29 第二节第二节 重点考核点重点考核点35 第三节第三节 常见题型常见题型35 1、二维随机变量联合分布函数35 2、随机变量的独立性36 3、简单函数的分布3
3、7 第四节第四节 历年真题历年真题38 数学一：38 数学三：40 数学四：42 第四章 随机变量的数字特征.45 第一节第一节 基本概念基本概念45 1、概念网络图45 2、重要公式和结论45 第二节第二节 重点考核点重点考核点49 第三节第三节 常见题型常见题型49 1、一维随机变量及其函数的数字特征49 2、二维随机变量及其函数的数字特征50 3、独立和不相关51 4、应用题52 第四节第四节 历年真题历年真题52 数学一：52 数学三：54 数学四：58 第五章 大数定律和中心极限定理63 第一节第一节 基本概念基本概念63 1、概念网络图63 2、重要公式和结论63 第二节第二节 重
4、点考核点重点考核点65 第三节第三节 常见题型常见题型65 1、大数定律65 2、中心极限定理65 第四节第四节 历年真题历年真题66 数学一：66 数学三：66 数学四：67 第六章 数理统计的基本概念.68 第一节第一节 基本概念基本概念68 1、概念网络图68 2、重要公式和结论68 第二节第二节 重点考核点重点考核点70 第三节第三节 常见题型常见题型70 1、统计量的性质70 2、统计量的分布71 第四节第四节 历年真题历年真题71 数学一：71 数学三：72 第七章 参数估计.76 第一节第一节 基本概念基本概念76 1、概念网络图76 2、重要公式和结论76 第二节第二节 重点考
5、核点重点考核点79 第三节第三节 常见题型常见题型79 1、矩估计和极大似然估计79 2、估计量的优劣80 3、区间估计80 第四节第四节 历年真题历年真题81 数学一：81 数学三：82 第八章 假设检验.85 第一节第一节 基本概念基本概念85 1、概念网络图85 2、重要公式和结论85 第二节第二节 重点考核点重点考核点86 第三节第三节 常见题型常见题型87 1、单正态总体均值和方差的假设检验87 2、两类错误87 第四节第四节 历年真题历年真题88 数学一：88 数学三：88 考研数学概率与统计（强化班）例题答案.89 考研数学概率与统计（强化班）历年真题答案97 第一章第一章 随机
6、事件和概率随机事件和概率 第一节第一节 基本概念基本概念 1 1、概念网络图、概念网络图 公公公公公 公公公公公 /)( 独立性 全概公式 和乘法公式条件概率 减法 加法 五大公式 几何概型 古典概型 随机事件 样本空间 基本事件 随机试验BCCB CB CB AP A E 2 2、重要公式和结论、重要公式和结论 （1）排列 组合公式 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 )!( ! nm m P n m 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 )!( ! ! nmn m C n m （2）加法 和乘法原 理 加法原理（两种方法均能完成此事）：加法原理（两种方法均能完成此事）
7、：m+nm+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mnmn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。 （3）一些 常见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机 试验和随 机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种
8、试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本 事件、样 本空间和 事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具 有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，表示事件，它们是的子集。 为必然事件， 为不可能事件。 不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（）的概率为 1，而概
9、率为 1 的事件也不一定是必然事件。 （6）事件 的关系与 运算 关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分， （A发生必有事件B发生）： BA 如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于BA AB B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也 可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。BA A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生， 称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事
10、件，记为A。它表示 A 不发 生的事件。互斥未必对立。 运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： 11i i i iAA ， BABABABA （7）概率 的公理化 定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若 满足下列三个条件： 1 0P(A)1， 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 11 )( i i i iAPAP 常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。 （8）古典 概型 1 ， n 21, 2 。 n PPP n 1
11、 )()()( 21 设任一事件A，它是由组成的，则有 m 21, P(A)= =)()()( 21m )()()( 21m PPP n m 基本事件总数 所包含的基本事件数A （9）几何 概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本 空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为 几何概型。对任一事件 A， 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 )( )( )( L AL AP （10）加 法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减 法公式 P(A-B)=P
12、(A)-P(AB) 当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A= 时，P()=1- P(B)B （12）条 件概率 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称为事件 A 发生条件下， )( )( AP ABP 事件 B 发生的条件概率，记为。)/(ABP )( )( AP ABP 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B （13）乘 法公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP 更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有 21(AAP )nA)|()|()(213121AAAP
13、AAPAP 21|(AAAPn )1nA 。 （14）独 立性 两个事件的独立性两个事件的独立性 设事件A、B满足 )()()(BPAPABP ，则称事件A、B是相互独立 的。 若事件A、B相互独立，且 0)(AP ，则有 )( )( )()( )( )( )|(BP AP BPAP AP ABP ABP 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互 独立。 必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=
14、P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 （15）全 概公式 设事件 nBBB,21 满足 1 nBBB,21 两两互不相容， ), 2 , 1(0)(niBPi ， 2 n i iBA 1 ， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP 。 （16）贝 叶斯公式 设事件1B，2B， nB及A满足 1 1B，2B， nB两两互不相容， )(BiP 0， i 1，2，n， 2 n i iBA 1 ， 0)(AP ， 则 ，i=1，2，n。 n j jj ii i BAP
15、BP BAPBP ABP 1 )/()( )/()( )/( 此公式即为贝叶斯公式。 ， （ 1i ，2，n） ，通常叫先验概率。)( i BP ， （ 1i ，2，n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了)/(ABP i “因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 （17）伯 努利概型 我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与 否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用 p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1 ，用 )(kPn 表示n重伯努利试验中A出现 )0(nkk 次的概率， knk k n nqpkP C )( ， nk, 2 , 1 , 0 。 例 11：
