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1、第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率 第一节第一节 基本概念基本概念 1 1、排列组合初步、排列组合初步 (1 1)排列组合公式)排列组合公式 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 )!( ! nm m P n m 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 )!( ! ! nmn m C n m 例 11:方程的解是 xxx CCC 765 10 711 A 4 B 3 C 2 D 1 例 12:有 5 个队伍参加了甲 A 联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少? (2)(2)加法原理(两种方法均能完成此事):加法原理(两种方法均能完成此事):m+nm+n 某
2、件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种方法来完 成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。 (3)(3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):mnmn 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由 n 种方法来完 成,则这件事可由 mn 种方法来完成。 例 13:从 5 位男同学和 4 位女同学中选出 4 位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男 同学又有女同学,有几种不同的选法? 例 14:6 张同排连号的电影票,分给 3 名男生和 3 名女生,如欲男女相间而坐,则不同 的分法数为多少? 例
3、 15:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜色,且相邻区域 的颜色必须不同,则共有不同的涂法 A120 种B140 种 C160 种D180 种 (4)(4)一些常见排列一些常见排列 特殊排列 相邻 彼此隔开 顺序一定和不可分辨 例 16:晚会上有 5 个不同的唱歌节目和 3 个不同的舞蹈节目,问:分别按以 下要求各可排出几种不同的节目单? 3 个舞蹈节目排在一起; 3 个舞蹈节目彼此隔开; 3 个舞蹈节目先后顺序一定。 例 17:4 幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? 例 18:5 辆车排成 1 排,1 辆黄色,1 辆蓝色,3 辆红色,且 3 辆红车
4、不可分 辨,问有多少种排法? 重复排列和非重复排列(有序) 例 19:5 封不同的信,有 6 个信箱可供投递,共有多少种投信的方法? 对立事件 例 110:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法? 例 111:15 人中取 5 人,有 3 个不能都取,有多少种取法? 例 112:有 4 对人,组成一个 3 人小组,不能从任意一对中取 2 个,问有多 少种可能性? 顺序问题 例 113:3 白球,2 黑球,先后取 2 球,放回,2 白的种数?(有序) 例 114:3 白球,2 黑球,先后取 2 球,不放回,2 白的种数?(有序) 例 115:3 白球,2 黑球,任取 2 球,2 白的
5、种数?(无序) 2 2、随机试验、随机事件及其运算、随机试验、随机事件及其运算 (1 1)随机试验和随机事件)随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一 次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为 随机事件。 例如:掷一枚硬币,出现正面及出现反面;掷一颗骰子,出现“1”点、 “5”点和出现 偶数点都是随机事件;电话接线员在上午 9 时到 10 时接到的电话呼唤次数(泊松分布) ;对某一目标发射一发炮弹,弹着点到目标的距离为 0.1 米、0.5 米及 1 米到 3 米之 间都是随机事件(正态分布) 。 在
6、一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性 质: (1)每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; (2)任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示,例如(离散) 。 n , 21 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。 一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母 A,B,C,表示事件,它们是的子集。 如果某个是事件A的组成部分,即这个在事件A中出现,记为。如果在一A 次试验中所出现的有,则称在这次试验中事件A发生。A 如果不是事件A的组成部分,就记为。在一次试验中,所出现的有
7、,AA 则称此次试验A没有发生。 为必然事件, 为不可能事件。 (2 2)事件的关系与运算)事件的关系与运算 关系: 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分, (A发生必有事件B发生):BA 如果同时有,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。BA AB A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A 与 B的差,记为A-B,也可表示为A-AB 或者,它表示A发生而B不发生的事件。BA A、B同时发生:AB,或者AB。AB=,则表示 A 与 B 不可能同时发生,称事件 A 与 事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A 称
8、为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为A。它表示 A 不发生的事件。互 斥未必对立。 运算: 结合率:A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率:(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率: 11i i i iAA , BABABABA 例 116:一口袋中装有五只乒乓球,其中三只是白色的,两只是红色的。现从袋中取球 两次,每次一只,取出后不再放回。写出该试验的样本空间。若A表示取到的两只球是 白色的事件,表示取到的两只球是红色的事件,试用A、表示下列事件: (1)两只球是颜色相同的事件C, (2)两只球是颜色不同的事件D, (3)两只球中至少有
9、一只白球的事件E。 例 117:硬币有正反两面,连续抛三次,若 Ai表示第 i 次正面朝上,用 Ai表示下列事件: (1)前两次正面朝上,第三次正面朝下的事件C, (2)至少有一次正面朝上的事件D, (3)前两次正面朝上的事件E。 3 3、概率的定义和性质、概率的定义和性质 (1 1)概率的公理化定义)概率的公理化定义 设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数 P(A),若满足下列三个 条件: 1 0P(A)1, 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件1A,2A,有 11 )( i i i iAPAP 常称为可列(完全)可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。 (2 2)古典概
10、型(等可能概型)古典概型(等可能概型) 1 , n 21, 2 。 n PPP n 1 )()()( 21 设任一事件A,它是由组成的,则有 m 21, P(A)= =)()()( 21m )()()( 21m PPP n m 基本事件总数 所包含的基本事件数A 例 118:集合 A 中有 100 个数,B 中有 50 个数,并且满足 A 中元素与 B 中元素关系 a+b=10 的有 20 对。问任意分别从 A 和 B 中各抽取一个,抽到满足 a+b=10 的 a,b 的概率。 例 119:5 双不同颜色的袜子,从中任取两只,是一对的概率为多少? 例 120:在共有 10 个座位的小会议室内随
11、机地坐上 6 名与会者,则指定的 4 个座位被坐 满的概率是 AB CD 14 1 13 1 12 1 11 1 例 121:3 白球,2 黑球,先后取 2 球,放回,2 白的概率?(有序) 例 122:3 白球,2 黑球,先后取 2 球,不放回,2 白的概率?(有序) 例 123:3 白球,2 黑球,任取 2 球,2 白的概率?(无序) 注意:事件的分解;放回与不放回;顺序问题。 4 4、五大公式(加法、减法、乘法、全概、贝叶斯)、五大公式(加法、减法、乘法、全概、贝叶斯) (1 1)加法公式)加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时,P(A+B)=P(A
12、)+P(B) 例 124:从 0,1,9 这十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率: A“三个数字中不含 0 或者不含 5” 。 (2 2)减法公式)减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA 时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A= 时,P()=1- P(B)B 例 125:若 P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3,求 P(A+B)和 P(+).A B 例 126:对于任意两个互不相容的事件 A 与 B, 以下等式中只有一个不正确,它是: (A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P()-1AB (C) P(-B)=
13、 P()-P(B) (D)P(AB)(A-B)=P(A) AA (E)p=P(A) -P()BAAB (3 3)条件概率和乘法公式)条件概率和乘法公式 定义 设 A、B 是两个事件,且 P(A)0,则称为事件 A 发生条件下,事件 B 发生的 )( )( AP ABP 条件概率,记为。)/(ABP )( )( AP ABP 条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B 乘法公式:)/()()(ABPAPABP 更一般地,对事件 A1,A2,An,若 P(A1A2An-1)0,则有 21(AAP )nA)|()|()(213121AA
14、APAAPAP 21|(AAAPn )1nA 。 例 127:甲乙两班共有 70 名同学,其中女同学 40 名,设甲班有 30 名同学,而女生 15 名,问在碰到甲班同学时,正好碰到一名女同学的概率。 例 128:5 把钥匙,只有一把能打开,如果某次打不开就扔掉,问以下事件的概率? 第一次打开;第二次打开;第三次打开。 (4 4)全概公式)全概公式 设事件 nBBB,21 满足 1 nBBB,21 两两互不相容, ), 2 , 1(0)(niBPi , 2 n i iBA 1 , 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP 。 此公式即为全概率公式。
15、 例 129:播种小麦时所用的种子中二等种子占 2,三等种子占 1.5,四等种子占 1,其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含 50 颗以上麦粒的 概率分别为 0.5,0.15,0.1,0.05,试求种子所结的穗含有 50 颗以上麦粒的概率。 例 130:甲盒内有红球 4 只,黑球 2 只,白球 2 只;乙盒内有红球 5 只,黑球 3 只;丙 盒内有黑球 2 只,白球 2 只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球,它是红球的 概率是: A0.5625B0.5C0.45D0.375 E 0.225 例 131:100 个球,40 个白球,60 个红球,不放回先后取 2 次,第 2 次取出白球的概率? 第 20 次取出白球的概率? (5 5)贝叶斯公式)贝叶斯公式 设事件1B,2B, nB及A满足 1 1B,2B, nB两两互不相容, )(BiP 0, i 1,2,n, 2 n i iBA 1 , 0)(AP , 则 ,i=1,2,n。 n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 )/()( )/()( )/(