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1、2016 年中国科学技术学主招试题 2016 年 6 21 1. 32016除以 100 的余数为 解21 由于 32016= 91008= (10 1)1008，有 32016 (1)1008+ C1 1008 (1) 1007 10(mod 100), 于是 32016 21 (mod 100) 2. 复数 z1,z2满 |z1| = 2，|z2| = 3，|z1+ z2| = 4，则 z1 z2 的值是 解 1 6 15 6 i 设复数 z1,z2,z1+ z2在复平面内的对应点分别为 A,B,C，则四边形 OACB 构成平四边形复数 z1 z2 的模为 2 3，接下来求它的辐角 O x
2、 y B A C 在 OAC 中应用余弦定理，有 cosA = 22+ 32 42 2 2 3 = 1 4, 于是 cosAOB = 1 4，进可得 z1 z2 = 2 3 1 4 15 4 i = 1 6 15 6 i. 3. S(A) 表集合 A 的所有元素之和，且 A 1,2,3,4,5,6,7,8，S(A) 能被 3 整除，但不能被 5 整除， 则符合条件的空集合 A 的个数是 解70 1 498164598 2016 年中国科学技术学主招试题 将集合 A 划分为 A1= 1,4,7,A2= 2,5,8,A3= 3,6, 于是使得 S(A) 能被 3 整除的非空集合 A 的个数有 (C
3、0 3+ C 3 3) 2 + (C1 3) 2 + (C2 3) 2 22 1 = 87. 接下来考虑 S(A) 能被 15 整除的非空集合 A 的个数，此时 S(A) = 15 或 S(A) = 30 (1) S(A) = 15此时按最元素分别为 8,7,6,5 分类，分别有 5,4,3,1 个，共计 13 个 (2) S(A) = 30此时只需要考虑 S(A) = 6 的情形，共有 4 个 综上所述，符合条件的非空集合 A 的个数为 87 13 4 = 70 4. 已知 ABC 中，sinA + 2sinB cosC = 0，则 tanA 的最值是 解 3 3 由 sinA = sin(
4、B + C) = sinB cosC + cosB sinC，得 3sinB cosC + cosB sinC = 0, 即 3tanB + tanC = 0. 于是 tanA = tan(B + C) = tanB + tanC 1 tanB tanC = 2tanB 1 + 3tan2B = 2 1 tanB + 3tanB 3 3 , 等号当 tanB = 3 3 ,tanC = 3 时取得因此 tanA 的最值为 3 3 5. 若对任意实数 x 都有 |2x a| + |3x 2a| a2，则 a 的取值范围是 解 1 3, 1 3 易知函数 f(x) = |2x a| + |3x 2
5、a| 在 x = 2a 3 处取得最小值 f 2a 3 = |a| 3 ，于是解不等式 |a| 3 a2, 得 1 3 a 1 3. 因此 a 的取值范围是 1 3, 1 3 6. 若 a ( 4 , 2 ) ，b (0,1)，x = (sina)logb sina，y = (cosa)logbcosa，则 x y(填 ,=, 取对数，可得 lnx = ln2sina lnb ,lny = ln2cosa lnb , sina cosa 0 lnsina lncosa ln2sina ln2cosa lnb , 因此 lnx lny，从 x y 2 2016 年中国科学技术学主招试题 7. 梯
6、形 ABCD 中 AB CD，对线 AC,BD 交于 P1，过 P1作 AB 的平线交 BC 于点 Q1AQ1交 BD 于 P2，过 P2作 AB 的平线交 BC 于点 Q2，若 AB = a，CD = b，则 PnQn=( a,b,n 表) 解 ab a + bn 如图 AB DC P1 Q1 P2 Q2 设 PnQn= xn(n N)，则 x0= CD = b，且 1 xn = 1 xn1 + 1 a, 于是可得 1 xn = n a + 1 x0 ，即 xn= ab a + bn(n N) 8. 数列 an 中 an是与 n 最接近的整数，则2016 n=1 1 an = 解 444 5
7、 记 k = round(n)，则有 k = n + 1 2 ，即 k n +1 2 0，a + b + c = 3，求证： a2 a + bc+ b2 b + ca+ c2 c + ab 3 2 解由均值不等式，有 LHS cyc 2a2 2a + b + c, 再由柯西不等式，有 cyc 2a2 2a + b + c 2(a + b + c)2 4(a + b + c) = 3 2, 因此原不等式得证 3 2016 年中国科学技术学主招试题 10. 求所有函数 f : N N，使得对任意正整数 x = y，0 0，因此 f 为单射这就意味着 f(x + 1) f(x) 1 或 f(x +
8、1) f(x) 1(否则必然出现不同的自变量映射到同个正整数)考虑到象的集合为 N，因此 f(x + 1) f(x) 1，进可得 f(n) = f(1) + n 1，其中 f(1) N 11. 求程 2x 5y 7z= 1 的所有负整数解 (x,y,z) 解(x,y,z) = (1,0,0),(3,0,1) 根据题意，有 (1)x (1)y 1z 1(mod 3), 因此 x 为奇数且 y 为偶数， 设 x = 2m+1， y = 2n， 其中 m,n N 于是原程等价于 24m25n7z= 1 若 n = 0，则 2 (1)m 1(mod 5), 盾，于是 n = 0此时原程等价于 2 4m 7z= 1 (1) 若 z = 0，则 m = 0，因此 (x,y,z) = (1,0,0) 为符合题意的组解 (2) 若 z = 0，则 (1)z 1(mod 4), 于是 z 为奇数，设 z = 2p + 1，p N，则原程等价于 2 4m 7 49p= 1若 p = 0，则 m = 1，因此 (x,y,z) = (3,0,1) 为符合题意的组解若 p = 0，则 m 4，于是 7 1p 1(mod 16), 盾 综上所述，原程的所有非负整数解为 (x,y,z) = (1,0,0),(3,0,1) 4
