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1、学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网立体几何基础题题库351-400（有详细答案）351. （1）已知直线a平面a ，a平面b 求证：b a （2）已知三个平面a 、b 、g ，a b ，a g 求证：b g 解析：（1）如图答9-41，aa ，在a 上任取一点，过a与A确定平面g ，设，则ab ， a ，a b （2）在g 上任取P，设，在g 内作，a g ，PQa a b ，PQb ，PQg ，b g 352. 在正方体中，求二面角的大小解析：如图9-43，在平面内作，交于E连结，设正方体棱长为a，在和中，为二面角的平面角在Rt中，,在中，353. 如图9-50，点A在锐二面角a
2、 -MN-b 的棱MN上，在面a 内引射线AP，使AP与MN所成的PAM为45，与面b 所成的角为30，求二面角a -MN-b 的大小解析：如图答9-44，取AP上一点B，作BHb 于H，连结AH，则BAH为射线AP与平面b 所成的角，BAH=30，再作BQMN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面b 内的射影由三垂线定理的逆定理，HQMN，BQH为二面角a -MN-b 的平面角图答9-44设BQ=a，在RtBAQ中，BQA=90，BAM=45，在RtBAH中BHA=90，BAH=30，在RtBHQ中，BHQ=90，BQ=a，BQH是锐角，BQH=45即二面角a -MN-b 等于45354
3、. 已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：(1)lm (2)lm(3)lm (4)lm其中正确的两个命题是( )A.(1)与(2) B.(3)与(4) C.(2)与(4) D.(1)与(3)分析：本题主要考查直线与平面、平面和平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.解法一：在l，m的前提下，当时，有l，从而l，从而lm，得(1)正确；当时，l垂直于、的交线，而m不一定与该交线垂直，因此，l与m不一定平行，故(2)不正确.故应排除A、C.依题意，有两个命题正确，不可能(3)，(4)都正确，否则连同(1)共有3个命题正确.故排除B，得D.解法二：当断定(1)正确之后，根据4个选择项的
4、安排，可转而检查(3)，由lm,l知m，从而由m得.即(3)正确.故选D.解法三：不从(1)检查起，而从(2)、(3)、(4)中任一命题检查起，如首先检查(4)；由l,m不能否定m是、的交线，因此不一定成立，故(4)是不正确的，因此可排除B、C.依据A和D的内容可知(1)必定是正确的，否则A和D也都排除，以下只要对(2)或(3)检查，只须检查一个便可以做出判断.355. 一张正方形的纸ABCD，BD是对角线，过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O，以EF为棱，将正方形的纸折成直二面角，则BOD等于( )A.120 B.150 C.135 D.90解析：本题考查线面垂直，面面垂直，余弦定理，以
5、及空间与平面问题的转化能力。如图，设正方形边长为a，由O为正方形中心，则BOa,DOa，连AB，因为DAAE，DABE，故DA面AEB，所以DAAB，故DAB为直角三角形，BD=a.又在BOD中，由余弦定理可得 cosBOD-，所以BOD120评析：本题为折叠问题，此类问题应该分清折叠前后的哪些量发生了变化，此外，还要注意找出空间转化为平面的途径，几何计算的准确性等。356. 已知平面平面，B，D，ABCD，且AB2，直线AB与平面所成的角为30，则线段CD的长为取值范围是( )A.1，+ B.(1，) C.( ，) D.，+)解析：本题考查直线与直线所成的角，直线与平面所成的角的概念。线面垂
6、直的判定和性质，以及空间想象能力和几何计算.解 如图所示，过D作DAAB交平面于A.由，故DAAB2，DA与成30角，由已知DCAB，可得DCDA，所以DC在过DC且与DA垂直的平面内，令l，在内，DCl时为最短，此时DCDAtan30.故CD.应选D.357. 如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABDC，ABBC，且ABCD，侧棱PB底面ABCD，PC5，BC3，PAB的面积等于6，若平面DPA与平面CPB所成的二面角为，求.解析：平面DPA与平面CPB有一公共点P，要画出它们构成的二面角的平面角必须确定它们公共交线，DA和CB的延长线的交点E是它们的另一公共点.由公理二，PE就是二面
7、角的公共棱.有了公共棱，二面角的平面角就生了根.解 延长DA交CB的延长线于E，连PE，则PE就是平面DPA和平面CPB的交线.ABDC，ABBC，DCBC，PB底面ABCD.PBDC，DC平面PCE.作CFPE于F，连DF由三垂线定理得PEDF，DFC.ABCD，PC5，BC3，PB4.SPAB6，AB3，CD6，.EB3，PE5.PBECCFPE，CF.在直角DCF中，tan. antan.评析：这是一道较难的题，难就难在怎么确定两相交平面的交线.由公理二交线的唯一性必须找出另一个公共点，因此本题延长DA、CB相交于E，确定这个E点就成了关键.358. 如图，已知三条射线SA，SB，SC所
8、成的角ASCBSC30，ASB45，求平面ASC与平面BSC所成二面角的大小.解析：在SC上任取一点D，过D作平面DEF垂直于SC，分别交平面SAC、SBC、SAB于DE、DF、EF，则EDF是二面角ASCB的平面角，令SD.ASC30，在RtSED中，DE1，SE2.同理DF1，SF2.在SEF中，依余弦定理EF28-4.在DEF中，cosEDF2-3,又-12-30.二面角ASCB的平面角EDFarccos(2-3)-arccos(3-2)说明 本例给出了一个构造二面角的平面角的方法，过棱上一点作棱的垂面，这样在计算时同时取特殊值可以使问题简单化.359. 如图，二面角DC是度的二面角，A
9、为上一定点，且ADC面积为S，DCa，过点A作直线AB，使ABDC且与半平面成30的角，求变化时，DBC面积的最大值.解析：在内作AEDC于E，则AE为ADC的高，则有AEDC，AE.由于DCAE，DCAB，则有DCAEB所在的平面，所以DCBE，则AEB是二面角DC的平面角，即AEB.又由于DCAEB所在平面，且DC在上，所以平面AEB所在平面.令AFBE于F，则有AF平面，于是，FB是AB在平面上的射影，所以ABE是AB与所成的角.ABE30，在AEB中，有，EBsin(+30).据题意，有(0，180)，当60时，有EBmax，这时(SDBC)maxa2S.说明 本例对直线与直线所成的角
10、，直线与平面所成的角，二面角的平面角，点到直线的距离，点到平面的距离等概念以及三垂线定理和逆定理的考察是很深刻的，综合了直线与平面这一章的一些主要知识.360. 如图，设平面AC与平面BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45，P平面AC，Q平面BD，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，且M在BC上，又直线PQ与平面BD所成的角为，CMQ，090，设线段PMa，求PQ的长.解析：在PMQ中因为PMa,PQM，欲求PQ的长，根据正弦定理只要能求出sinPMR就行了.解 设PMR，作PRMQ于R，显然PR平面BD.作RNBC于N，连PN，则PNBC.PNR45，PQM.在直角PMR中：PRa
11、sin,MRacos.在直角MNR中：NRMRsinacossin.PRNR，asinacossin.tansin,cos,sin.在PMQ中由正弦定理：,PQ.评析：本题是利用正弦定理通过解斜三角形求出PQ的长，当然也可以通过三个直角三角形中的关系转换，先出求PR，最后在直角PQR中利用锐角函数处理，相比之下，还是给出的解法略为简便些.361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面?解析：有5个暴露面.如图所示，过V作VSAB，则四边形SABV为平行四边形，有SVA=VAB=60，从而SVA为等边三角形，同理SVD也是等边三角形，从而SAD也是等边三角形
12、，得到以VAD为底，以S与S重合.这表明VAB与VSA共面，VCD与VSD共面，故共有5个暴露面.362. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除1，1，2，可得1，1，1，1，2，2，2，2，2，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的
13、四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD面BCM，且VABCM=VDBCM，所以VABCD=SBCMAD.CM=.设N是BC的中点，则MNBC，MN=，从而SBCM=2=，故VABCD=1=.对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=，不妨令a=b=2，c=1，则V=.363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.解析：设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r12,球心与截面的距离为dR-8，由截面性质得：r2+d2R2,即122+(R-8)2R2.得R13 该球半径为13cm.364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解析：由题意知，光线与地面成60角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S，则Scos30S,并且S9，所以S6(米2)
