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1、20XX年中考数学总复习资料 20XX年中考数学总复习资料22、若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形如图1，在梯形ABCD中，ADBC，BAD=120，C=75，BD平分ABC求证：BD是梯形ABCD的和谐线；如图2，在1216的网格图上有一个扇形BAC，点ABC均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；四边形ABCD中，AB=AD=BC，BAD=90，AC是四边形ABCD的和谐线，求BCD的度数考点：
2、四边形综合题分析： 要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明ABD和BDC是等腰三角形就可以；根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在 上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形。由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30的直角三角形性质就可以求出BCD的度数解答： 解：ADBC。ABC+BAD=180，ADB=DBCBAD=120。ABC=60BD平分ABC。ABD=DBC=30。ABD=ADB。ADB
3、是等腰三角形在BCD中，C=75，DBC=30。BDC=C=75。BCD为等腰三角形。BD是梯形ABCD的和谐线；由题意作图为：图2，图3AC是四边形ABCD的和谐线。ACD是等腰三角形AB=AD=BC。如图4，当AD=AC时。AB=AC=BC，ACD=ADCABC是正三角形。BAC=BCA=60BAD=90。CAD=30。ACD=ADC=75。BCD=60+75=135如图5，当AD=CD时。AB=AD=BC=CDBAD=90。四边形ABCD是正方形。BCD=90如图6，当AC=CD时，过点C作CEAD于E，过点B作BFCE于F。AC=CDCEAD。AE=AD，ACE=DCEBAD=AEF=
4、BFE=90。四边形ABFE是矩形BF=AEAB=AD=BC。BF=BC。BCF=30AB=BC。ACB=BACABCE。BAC=ACE。ACB=ACE=BCF=15。BCD=153=45点评： 本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30的直角三角形的性质的运用解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键23、(20XX年南京压轴题)对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。例如，如图
5、，ABCABC且沿周界ABCA与ABCA环绕的方向相同，因此ABC 与ABC互为顺相似；如图，ABCABC，且沿周界ABCA与 ABCA环绕的方向相反，因此ABC 与ABC互为逆相似。 (1) 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： ADE与ABC； GHO与KFO； NQP与NMQ。其中，互为顺相似的是；互为逆相似的是。(填写所有符合要求的序号) (2) 如图，在锐角ABC中，ABC，点P在ABC的边上(不与点A、B、C重合)。过点P画直线截ABC，使截得的一个三角形与ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说
6、明理由。解析： (1) jk；l (4分) (2) 解：根据点P在ABC边上的位置分为以下三种情况。第一种情况：如图j，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2，分别使CPQ1=A，BPQ2=A，此时PQ1C、PBQ2都与ABC互为逆相似。第二种情况：如图k，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作CBM=A，BM交AC于点M。当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此时AP1Q与ABC互为逆相似；当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ABC。CP2Q2=ABC，此时AP2Q1、Q2P2
7、C都与ABC互为逆相似。第三种情况：如图l，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作BCD=A，ACE=B。CD、CE分别交AC于点D、E。当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此时AQP1与ABC互为逆相似；当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ACB。BP2Q2=BCA，此时AQ1P2、Q2BP2都与ABC互为逆相似；当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q，使BP3Q=BCA。此时QBP3与ABC互为逆相似。 (10分)24、我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的
8、重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：若O是ABC的重心，连结AO并延长交BC于D，证明： ；若AD是ABC的一条中线，O是AD上一点，且满足 ，试判断O是ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；若O是ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H，S四边形BCHGSAGH分别表示四边形BCHG和AGH的面积，试探究 S四边形BCGHSAGH 的最大值。解：证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。点O是ABC的重心。P是AB的中点，D是BC的中点，PD是AB
9、C的中位线，AC=2PD， AC / PD。DPO=ACO，PDO=CAO。OPDCA，ODAO = PDAC = 12 , ADAO = OD+OAOA= 1+22= 32 ,AOAD = 23 ；点O是是ABC的重心。证明：如图2，作ABC的中线CP，与 AB边交于点P，与ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是ABC的重心，根据中的证明可知 AQAD = 23 。而 AOAD = 23 ，点Q与点O重合，所以点O是ABC的重心；如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别与AC、AB交于点M、N。点O是ABC的重心。 OEBE = 13
10、， OFCF = 13 , 在ABE中，OM/AB，OMAB = OEBE = 13 ，OM = 13 AB。在ACF中，ON/AC，ONAC = OFCF = 13 ，ON = 13 AC。在AGH中，OM/AH，OMAG = OHGH 。在ACH中，ON/AH，ONAH = OGGH 。 OMAG + ONAH = OHGH +OGGH =1， 13ABAG + 13ACAH =1, ABAG + ACAH = 3 ,令ABAG = m , ACAH = n , m=3-n, S四边形BCGHSAGH = SABC-SAGHSAGH ,S四边形BCGHSAGH = 12ABACsinBAC- 12 AGAHsinBAC 12 AGAHsinBAC =ABAC-AGAH AGAH= ABACAGAH -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- 32 )2 + 54 , 当 ACAH = n = 32 ，GH/BC时， S四边形BCGHSAGH 有最大值 54 。附：BGAG + CHAH=1 或 ABAG + ACAH=3 的另外两种证明方法的作图。方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、M。
