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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（理科）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。祝考试顺利注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。考公式：柱体的体积公式：V=Sh.其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。 锥体的体积
2、公式：V=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）集合A=0，2，a,B=1,a2.若AB=0，1，2，4，16，则a的值为（A）0 （B）1 （C）2 （D）4（2）复数等于（A）1+2i （B）1-2i （C）2 +i （D）2 i(3) 将函数y=的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 （A）y= （B）y= （C）y=1+ （D）y=（4）一空间
3、几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A） （B） （C） （D）（5）已知表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）函数的图象大致为（7）设p是所在平面内的一点，则（A） （B） （C） （D）（8）某工厂对一批产品进行了抽样检测。右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（A）90 （B）75 （C）60 （D）45（
4、9）设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（A） (B) (C) (D) (10) 定义在R上的函数满足，则的值为（A）-1 (B) 0 (C) 1 (D) 2（11）在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为 （A） (B) (C) (D) （12）设满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为（A） (B) (C) (D) 4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （注意：在试题卷上作答无效） (13)不等式 的解集为 . (14)若函数有两个零点,则实数的取值范围是 .(15)执行右边的程序框图,输出的T= .(16)已知定义在R上的奇函数满
5、足，且在区间0，2上是增函数.若方程在区间-8，8上有四个不同的根则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分。（17）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 设函数。（）求函数的最大值和最小正周期；（）设A，B，C为的三个内角，若，且C为锐角，求。（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD,AB=4,BC=CD=2,AB的中点。 （）证明：直线平面；（）求二面角的弦值。 (19)(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效） 在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每
6、投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次。某同学在A处的命中率为0.25，在B处的命中率为.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 求的值；求随机变量的数学期量；试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。20（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）等比数列的前n项和为，已知对任意的，点均在函数的图象上。（）求r的值。（）当b=2时，记证明：对任意的，不等式成立（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 两县城A和B相距20Km，现计划在两县城外以AB为直径
7、的半圆弧上选择一点C建造垃圾理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和。记C点到城A的距离xKm，建在C处的垃圾处理厂对城B的影响度为Y，统计调查表明；垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城B的平方成反比，比例系数为4；城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为K，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B）总影响度为0.065（）将Y表示成X的函数；（）讨论（）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点城A的距离；若不存在，说明理由。（22）（本小题满分14
8、分）（注意：在试题卷上作答无效） 设椭圆E：，O为坐标原点 （）求椭圆E的方程； （）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且？若存在，写出该圆的方程，关求的取值范围；若不存在，说明理由。2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学（参考答案）一、 选择题1-12 D C B C B A B A D C A A1. 【解析】:,故选D.答案:D2. 【解析】: ,故选C.答案:C3. 【解析】:将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.答案:B【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱
9、导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.4.【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.5.【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件.答案:B.6.【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.答案:A.【命题立意】:本题考查了函
10、数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.7.【解析】:因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。答案：B。【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答。8. 【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为,则,所以,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120
11、0.75=90.故选A.答案:A9. 【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以=,所以,故选D.答案:D.10. 【解析】:由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.答案:C.11. 【解析】:在区间-1，1上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.12. 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最
12、大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.答案:A二、 填空题 13. 14. 15.30 16. -8三、解答题17. 解: （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=所以函数f(x)的最大值为,最小正周期.（2）=, 所以, 因为C为锐角, 所以,又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以.18. 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/A
13、1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE/平面FCC.（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在BCF为正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F,在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y
