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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟。祝考试顺利注意事项:1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。考公式:柱体的体积公式:V=Sh.其中S是柱体的底面积,h是柱体的高。 锥体的体积
2、公式:V=,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高。 如果事件互斥,那么如果事件相互独立,那么如果事件在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中恰好发生次的概率一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)集合A=0,2,a,B=1,a2.若AB=0,1,2,4,16,则a的值为(A)0 (B)1 (C)2 (D)4(2)复数等于(A)1+2i (B)1-2i (C)2 +i (D)2 i(3) 将函数y=的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图像的函数解析式是 (A)y= (B)y= (C)y=1+ (D)y=(4)一空间
3、几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A) (B) (C) (D)(5)已知表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则“”是“”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(6)函数的图象大致为(7)设p是所在平面内的一点,则(A) (B) (C) (D)(8)某工厂对一批产品进行了抽样检测。右图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是,样本数据分组为已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(A)90 (B)75 (C)60 (D)45(
4、9)设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点,则双曲线的离心率为(A) (B) (C) (D) (10) 定义在R上的函数满足,则的值为(A)-1 (B) 0 (C) 1 (D) 2(11)在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为 (A) (B) (C) (D) (12)设满足约束条件若目标函数的最大值为12,则的最小值为(A) (B) (C) (D) 4二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. (注意:在试题卷上作答无效) (13)不等式 的解集为 . (14)若函数有两个零点,则实数的取值范围是 .(15)执行右边的程序框图,输出的T= .(16)已知定义在R上的奇函数满
5、足,且在区间0,2上是增函数.若方程在区间-8,8上有四个不同的根则 .三、解答题:本大题共6小题,共74分。(17)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) 设函数。()求函数的最大值和最小正周期;()设A,B,C为的三个内角,若,且C为锐角,求。(18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)如图,在直四棱柱中,底面ABCD为等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AB的中点。 ()证明:直线平面;()求二面角的弦值。 (19)(本小题满分12分) (注意:在试题卷上作答无效) 在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,在B处每
6、投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投三次。某同学在A处的命中率为0.25,在B处的命中率为.该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为 求的值;求随机变量的数学期量;试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。20(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)等比数列的前n项和为,已知对任意的,点均在函数的图象上。()求r的值。()当b=2时,记证明:对任意的,不等式成立(21)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) 两县城A和B相距20Km,现计划在两县城外以AB为直径
7、的半圆弧上选择一点C建造垃圾理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和。记C点到城A的距离xKm,建在C处的垃圾处理厂对城B的影响度为Y,统计调查表明;垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城B的平方成反比,比例系数为4;城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为K,当垃圾处理厂建在弧的中点时,对城A和城B)总影响度为0.065()将Y表示成X的函数;()讨论()中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点城A的距离;若不存在,说明理由。(22)(本小题满分14
8、分)(注意:在试题卷上作答无效) 设椭圆E:,O为坐标原点 ()求椭圆E的方程; ()是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A,B且?若存在,写出该圆的方程,关求的取值范围;若不存在,说明理由。2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学(参考答案)一、 选择题1-12 D C B C B A B A D C A A1. 【解析】:,故选D.答案:D2. 【解析】: ,故选C.答案:C3. 【解析】:将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.答案:B【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱
9、导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.4.【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为,高为,所以体积为所以该几何体的体积为.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.5.【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件.答案:B.6.【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.答案:A.【命题立意】:本题考查了函
10、数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.7.【解析】:因为,所以点P为线段AC的中点,所以应该选B。答案:B。【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,可以借助图形解答。8. 【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为,则,所以,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120
11、0.75=90.故选A.答案:A9. 【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以=,所以,故选D.答案:D.10. 【解析】:由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2009)= f(5)=1,故选C.答案:C.11. 【解析】:在区间-1,1上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或或,区间长度为,由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.12. 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z(a0,b0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a0,b0)取得最
12、大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.答案:A二、 填空题 13. 14. 15.30 16. -8三、解答题17. 解: (1)f(x)=cos(2x+)+sinx.=所以函数f(x)的最大值为,最小正周期.(2)=, 所以, 因为C为锐角, 所以,又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以.18. 解法一:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中,取A1B1的中点F1,E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 连接A1D,C1F1,CF1,因为AB=4, CD=2,且AB/CD,所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形,所以CF1/A
13、1D,又因为E、E分别是棱AD、AA的中点,所以EE1/A1D,所以CF1/EE1,又因为平面FCC,平面FCC,所以直线EE/平面FCC.(2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在BCF为正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F,在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y