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1、2009年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1 若a0,1,则 (D)Aa1,b0 Ba1,b0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b02对于非0向时a,b,“a/b”的确良 (A)A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3将函数y=sinx的图象向左平移0 2的单位后,得到函数y=sin的图象,则等于 (D)A B C. D.4如图1,当参数时,连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则 BA B C D 5.从10名大学生毕
2、业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数位 CA 85 B 56 C 49 D 28 6. 已知D是由不等式组,所确定的平面区域,则圆 在区域D内的弧长为 BA B C D7正方体ABCD的棱上到异面直线AB,C的距离相等的点的个数为(C)A2 B3 C. 4 D. 58.设函数在(,+)内有定义。对于给定的正数K,定义函数 取函数=。若对任意的,恒有=,则AK的最大值为2 B. K的最小值为2CK的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9某班共30人,其中15人喜爱
3、篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12_10在的展开式中,的系数为_7_(用数字作答)11、若x(0, )则2tanx+tan(-x)的最小值为2.12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60 ,则双曲线C的离心率为13、一个总体分为A,B两层,其个体数之比为4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知B层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个数数位 50 。14、在半径为13的球面上有A , B, C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则(1)球心到平面ABC的距离为 1
4、2 ;(2)过,B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为(锐角)的正切值为 3 15、将正ABC分割成(2,nN)个全等的小正三角形(图2,图3分别给出了n=2,3的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别一次成等差数列,若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n),则有f(2)=2,f(3)= ,f(n)= (n+1)(n+2)三解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)在,已知,求角A,B,C的大小。解:设由得,所以又因此由得
5、,于是所以,因此,既由A=知,所以,从而或,既或故或。17.(本小题满分12分)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、,现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。(I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(II)记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数,求 的分布列及数学期望。解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,i=1,2,3.由题意知相互独立,相互独立,相互独立,,(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且
6、P()=,P()=,P()=(1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3!P()=6P()P()P()=6=(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由己已知,-B(3,),且=3。所以P(=0)=P(=3)=, P(=1)=P(=2)= = P(=2)=P(=1)=P(=3)=P(=0)= = 故的分布是0123P的数学期望E=0+1+2+3=2解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件,i=1,2,3 ,由此已知,D,相互独立,且P()-(,)= P()+P()=+=所以-,既,故的分布列是12318.(本小题满分12分)如图4,在正三棱柱中,D是
7、的中点,点E在上,且。(I) 证明平面平面(II) 求直线和平面所成角的正弦值。解 (I) 如图所示,由正三棱柱的性质知平面又DE平面ABC,所以DEAA.而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA,又DE平面ADE,故平面ADE平面AC CA。(2)解法1 如图所示,设F使AB的中点,连接DF、DC、CF,由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD, ABDF又CDDF=D,所以AB平面CDF,而ABAB,所以AB平面CDF,又AB平面ABC,故平面AB C平面CDF。过点D做DH垂直CF于点H,则DH平面AB C。连接AH,则HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知A
8、B=A A,不妨设A A=,则AB=2,DF=,D C=,CF=,AD=,DH=,所以 sinHAD=。即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。解法2 如图所示,设O使AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,不妨设A A=,则AB=2,相关各点的坐标分别是A(0,-1,0), B(,0,0), C(0,1,), D(,-,)。易知=(,1,0), =(0,2,), =(,-,)设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有解得x=-y, z=-,故可取n=(1,-,)。所以,(n)=。由此即知,直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。19.(本小题满分13分)某地建一座桥,两端的桥墩已建好
9、,这两墩相距米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为万元。 ()试写出关于的函数关系式; ()当=640米时,需新建多少个桥墩才能使最小?解 ()设需要新建个桥墩,所以 () 由()知, 令,得,所以=64 当064时0. 在区间(64,640)内为增函数,所以在=64处取得最小值,此时,故需新建9个桥墩才能使最小。20(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为
10、d,当P点运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和 ()求点P的轨迹C; ()设过点F的直线I与轨迹C相交于M,N两点,求线段MN长度的最大值。 解()设点P的坐标为(x,y),则3x-2由题设 当x2时,由得 化简得 当时 由得 化简得 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线,参见图1()如图2所示,易知直线x=2与,的交点都是A(2,),B(2,),直线AF,BF的斜率分别为=,=.当点P在上时,由知. 当点P在上时,由知 若直线l的斜率k存在,则直线l的方程为(i)当k,或k,即k-2 时,直线I与轨迹C的两个交点M
11、(,),N(,)都在C 上,此时由知MF= 6 - NF= 6 - 从而MN= MF+ NF= (6 - )+ (6 - )=12 - ( +)由 得 则,是这个方程的两根,所以+=*MN=12 - (+)=12 - 因为当 当且仅当时,等号成立。(2)当时,直线L与轨迹C的两个交点 分别在上,不妨设点在上,点上,则知, 设直线AF与椭圆的另一交点为E 所以。而点A,E都在上,且 有(1)知若直线的斜率不存在,则=3,此时综上所述,线段MN长度的最大值为21.(本小题满分13分)对于数列若存在常数M0,对任意的,恒有 则称数列为B-数列(1) 首项为1,公比为的等比数列是否为B-数列?请说明理
12、由;请以其中一组的一个论断条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假,并证明你的结论;(2) 设是数列的前项和,给出下列两组论断;A组:数列是B-数列 数列不是B-数列B组:数列是B-数列 数列不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假,并证明你的结论;(3) 若数列都是数列,证明:数列也是数列。解(1)设满足题设的等比数列为,则,于是 因此- +-+-=因为所以即 故首项为1,公比为的等比数列是B-数列。(2)命题1:若数列是B-数列,则数列是B-数列 次命题为假命题。 事实上,设,易知数列是B-数列,但 由的任意性知,数列是B-数列此命题为。命题2:若数列是B-数列,则数列是B-数列此命题为真命题事实上,因为数列是B-数列,所以存在正数M,对任意的有 即。于是 所以数列是B-数列。(III)若数列 是数列,则存在正数,对任意的有 注意到 同理:记,则有因此 +故数列是数列