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1、绝密启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷1至2页,第卷3至4页,共150分。考生注意:1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2. 第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上作答,答案无效。3. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式如果事件互斥,那么 球的表面积公式
2、如果事件,相互独立,那么 其中表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是,那么 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 第卷一选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1下列命题是真命题的为 A若,则 B若,则 C若,则 D若,则 2函数的定义域为ABCD350 名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生有30名,参加乙项的学生有25名,则仅参加了一项活动的学生人数为A50 B45 C40 D354函数的最小正周期为A B C D 5已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,则的值为AB
3、CD6若能被整除,则的值可能为 A B C D7.设和为双曲线()的两个焦点, 若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A B C D38公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于A. 18 B. 24 C. 60 D. 909如图,在四面体中,截面是正方形,则在下列命题中,错误的为. . 截面 . . 异面直线与所成的角为10甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇的概率为A B C D11如图所示,一质点在平面上沿曲线运动,速度大小不变,其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为
4、 12若存在过点的直线与曲线和都相切,则等于A或 B或 C或 D或绝密启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学第卷注意事项: 第卷2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题上作答,答案无效。二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。请把答案填在答题卡上13已知向量, ,若 则= 14体积为的一个正方体,其全面积与球的表面积相等,则球的体积等于 15若不等式的解集为区间,且,则 16设直线系,对于下列四个命题: 存在一个圆与所有直线相交 存在一个圆与所有直线不相交 存在一个圆与所有直线相切 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 (写出所有
5、真命题的代号)三.解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)设函数(1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围18(本小题满分12分)某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”,则给予10万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助求:(1) 该公司的资助总额为零的概率;(2)该公司的资助总额超过15万元的概率19(本小题满分12分)在中,所对的边分别为
6、,(1)求;(2)若,求,,20(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,以的中点为球心、为直径的球面交于点(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成的角;(3)求点到平面的距离21(本小题满分12分)数列的通项,其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.22(本小题满分14分)如图,已知圆是椭圆的内接的内切圆, 其中为椭圆的左顶点.(1)求圆的半径;(2)过点作圆的两条切线交椭圆于两点,G证明:直线与圆相切绝密启用前 秘密启用后2009年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。题号12345678
7、9101112答案ADBACCBCCDBA1. 由得,而由得,由,不一定有意义,而得不到 故选A.2. 由得或,故选D.3. 仅参加了一项活动的学生人数=50-(30+25-50)=45, 故选B.4. 由可得最小正周期为,故选A.5. ,故选C.6. ,当时,能被7整除, 故选C.7. 由有,则,故选B.8. 由得得,再由得 则,所以,.故选C9. 由,可得,故正确;由可得截面,故正确;异面直线与所成的角等于与所成的角,故正确;综上是错误的,故选.10. 所有可能的比赛分组情况共有种,甲乙相遇的分组情况恰好有6种,故选.11. 由图可知,当质点在两个封闭曲线上运动时,投影点的速度先由正到0、
8、到负数,再到0,到正,故错误;质点在终点的速度是由大到小接近0,故错误;质点在开始时沿直线运动,故投影点的速度为常数,因此是错误的,故选.12. 设过的直线与相切于点,所以切线方程为即,又在切线上,则或,当时,由与相切可得,当时,由与相切可得,所以选.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。13. 14. 15. 16. ABC 13.因为所以.14.设球的半径为,依题设有,则,球的体积为 15.由数形结合,半圆在直线之下必须,则直线过点,则16. 因为所以点到中每条直线的距离即为圆:的全体切线组成的集合,所以存在圆心在,半径大于1的圆与中所有直线相交, 也存在圆心在,半径小于1的圆
9、与中所有直线均不相交, 也存在圆心在,半径等于1的圆与中所有直线相切,故ABC正确,又因中的边能组成两类大小不同的正三角形,故D错误,故命题中正确的序号是ABC三、解答题:本大题共6小题,共74分。17解:(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得,即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.18解:(1)设表示资助总额为零这个事件,则(2)设表示资助总额超过15万元这个事件,则19解:(1)由 得 则有 = 得 即.(2) 由 推出 ;而,即得, 则有 解得 .20解:方法(一):(
10、1)证:依题设,在以为直径的球面上,则.因为平面,则,又,所以平面,则,因此有平面,所以平面平面.()设平面与交于点,因为,所以平面,则,由(1)知,平面,则MN是PN在平面ABM上的射影,所以 就是与平面所成的角,且 所求角为(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,平面于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中,所以为中点,则O点到平面ABM的距离等于。方法二:(1)同方法一;(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则, ,设平面的一个法向量,由可得:,令,则,即.设所求角为,则,所求角的大小为.(3)设所求距离为,由,得:21. 解: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 22解: (1)设,过圆心作于,交长轴于由得,即 (1)而点在椭圆上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或(舍去)(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3)则,即 (4)解得将(3)代入得,则异于零的解为设,,则则直线的斜率为:于是直线的方程为: 即则圆心到直线的距离故结论成立.