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1、第五章 二次型基本内容及考点综述一、基本概念1、二次型设是一个数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式称为数域上的一个元二次型.2.二次型的矩阵如果数域上的元二次型可表为矩阵形式.其中称为二次型的矩阵，的秩也称为二次型的秩.3.非退化线性替换设是两组文字，系数在数域中的一组关系式称为由到的一个线性替换，如果系数行列式那么以上线性替换称为非退化的.4.矩阵合同数域上矩阵称为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使5.标准形数域上的二次型可以经过非退化线性替换化成 （1）那么（1）就称为二次型的一个标准形.6.正惯性指数，负惯性指数，符号差实二次型的标准形中正的平方项的个数称为的正惯性指数，负的平方项的
2、个数称为的负惯性指数.正惯性指数与负惯性指数的差称为符号差.7.正定二次型实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有8.负定，半正定，半负定，不定设是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数，如果都有那么称负定，如果都有，那么称半正定；如果都有.那么称半负定；如果既不是半正定又不是半负定，那么称为不定.二、基本结论1.数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准形.换句话说，数域上的任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.2.任意一个复二次型都可以经过一适当的非退化线性替换化成规范形.且规范形是唯一的，换句话说，任一复对称矩阵合同于3.任意一个实二次型都可以经过一适当的非退化线
3、性替换化成规范形.且规范形是唯一的，换句话说，任一实数域上的对称矩阵，合同于其中是正惯性指数.4.实二次型正定正惯性指数为存在阶可逆矩阵，使（可逆）的顺序主子式全大于零的特征值全大于零5.6.实二次型半正定的主子式都大于或等于零三、基本方法1.将二次型的问题与对称矩阵的问题互相转化是经常采用的一种方法.2.将二次型化成标准形，一般采用配方法或用初等变换的方法，而后者往往比较简单.3.是实对称矩阵，且正定，则存在可逆矩阵，使为对角矩阵，这一结论是非常有用的试题精选1.（华中师大，1996）求二次型的正惯性指数与符号差.令的正惯性指数为2，符号差为1.2.（华中师大，1997）当为何值时，二次型是
4、正定的，并说明理由.解 20二次型的顺序主子式全大于零3.（华东师大，2005）求实二次型的正惯性指数、负惯性指数、符号差以及秩.解 于是是半正定，负惯性指数为零.此二次型的矩阵为那么不是正定的，于是的前行，前列构成的阶子式等于，那么，所以的正惯性指数为4.（厦门大学，1999）证明 为正定矩阵，那么其中可逆，由于是5.（南京大学，1997）是实数，为实数域上的维行向量，证明，为实正定矩阵.证明 是实对称矩阵.当当则零是阶实对称矩阵的重特征值.令那么是的唯一非零特征值.于是，的个特征值为而为实正定矩阵.6.（南京大学，1998）为阶可逆实反对称矩阵，证明：（1）（2）（3）为阶实正定矩阵，则证
5、明（1）首先证明为偶数，为偶数，不妨令由是可逆实反对称矩阵，则的特征值只能是纯虚数，而是实系数多项式，所以虚根是成对的，令为那么存在可逆矩阵.使（2）显然，对任意实数假定存在实数，使次多项式，是连续函数，那么存在矛盾.所以对任意的实数（3）正定，那么存在可逆矩阵使仍是可逆实反对称矩阵，由（1），存在可逆矩阵Q，使其中那么 于是，所以7.（上海交大，2003）是阶正定矩阵，证明的特征值为实数.证明 阶正定矩阵，那么存在阶可逆矩阵使 于是， 其中是可逆矩阵.有相同的特征值，而的特征值全为实数，所以的特征值为实数.8.（华中科大，2001）为阶非零半正定矩阵，证明证明 阶半正定矩阵，则的特征值都大于
6、等于零，于是存在可逆矩阵，使其中9.(华中科大,2002) 阶半正定矩阵,证明证明 阶半正定矩阵,的特征值都大于等于零,于是存在阶可逆矩阵.使其中于是, 10.（武汉大学，2001）为正定矩阵，请证明正定的充分必要条件为证明 必要性是正定矩阵，则是实对称矩阵，充分性.是实对称矩阵，由正定，那么存在可逆矩阵那么即的特征值全大于零，那么正定，所以正定 11.(武汉大学,2001)阶实矩阵,请证明,为正定的充要条件是的秩为证明 必要性则齐次线性方程组有非零解.不妨令为考虑元二次型与为阶正定矩阵矛盾.所以的秩等于.充分性.对任意维非零列向量 由那么.12.(武汉大学,2002) (1)是对称矩阵.(2
7、)是正定矩阵.证明(1)而矩阵方程于是是对称矩阵.(2) 由为阶正定矩阵,那么存在可逆矩阵使于是, (1)令于是(1)可表为令是的属于特征值的特征向量，即于是而所以13.(浙江大学,2003)设是可逆的对称实矩阵,证明:二次型的矩阵是的伴随矩阵.证明 令考虑以下的分块矩阵于是，由是对称矩阵，那么所以二次型的矩阵是.14.（清华大学，2000）设级实方阵如下，试求的取值范围，使为正定方阵.解 考虑的阶顺序主子式 .（1） k为奇数，则A正定.（2） k为偶数，则A正定.15.(厦门大学,1998)证明: 实二次型在向量的模时的最大值即为实对称矩阵的最大特征值.证明 是实对称矩阵,那么存在正交矩阵
8、.使其中对二次型作正交线性替换令那么存在使.于是结论成立.16.(厦门大学,2000)设是阶实对称正定阵,求证:存在唯一的实对称正交阵,使得.证明 存在性是实对称正定阵,那么存在正交矩阵,使其中于是.其中显然是实对称正定阵.唯一性.假定还有实对称正定阵,使.是实对称正定阵,令那么,而是正定阵，于是这就是说，如果的属于特征值的特征向量，那么是的属于特征值的特征向量，于是同理.所以于是唯一性成立.17.（华中科大，2005）设为实矩阵，为阶单位阵，证明：当时，为正定矩阵.证明 考虑元二次型 对实数域上的任意非零维列向量. 由那么所以正定18.（华中科大，2005）证明：任一阶实可逆阵可以分解成一个
9、正交阵与一个正定阵之积，即证明 是实可逆矩阵，那么是正定矩阵，由本章第16题，存在正定阵，使,令 （1）那么.是正交矩阵，是正定矩阵19.（北京师范大学，2006）证明：（1）若是可逆矩阵，则是正定矩阵.（2）若是实对称矩阵，证明存在一个非零实数，使得矩阵是正定矩阵.证明（1）令是实数域上的维非零列向量，由可逆.则于是是正定矩阵.(2) 令的个特征值为.如果令则是正定矩阵. 如果令则是正定矩阵.如果,令, 则是正定矩阵20.(中山大学,2003)设.若矩阵是正定的,证明也正定.证明 由正定, 那么也正定.令那么下面的元二次型是正定的. 令则所以正定.21.(中南大学,2002)设是级正定矩阵,
10、令求证:是负定二次型.证明 令那么由是正定矩阵，则是正定矩阵.所以是负定二次型.22.(东南大学,2003)设有元实二次型其中为实数,试问:当满足何种条件时,二次型为正定二次型.解 显然是半正定的,是正定的可以推出 下面的齐次线性方程组只有零解系数行列式所以,当是正定二次型.23 (东南大学,1999)(1) 证明正定实对称矩阵的主对角元素全为正数.(2) 若都是正定实对称矩阵,的任一实特征值,证明.证明(1)令 由正定,则正定.那么的左上角元素(2)令那么.于是,由正定由正定,那么24.(东南大学,2000)设为阶正定阵,为阶实反对称阵,求证:为正定阵.证明 为阶正定阵,那么存在阶可逆阵,使
11、阶实反对称矩阵,令的特征值为那么的特征值为是实对称矩阵,则也是实对称矩阵,那么，存在正交矩阵.使其中那么所以为正定阵.25.(厦门大学,2002)设是实数域上的阶对称矩阵,求证：存在实数,使得对实数域上任何维列向量,都有这里的转置矩阵.证明 考虑下面的元二次型,利用正交线性替换将二次型化成平方和.令那么 所以 .26（中科院，2004）证明：若为阶对称正定阵，则（i）存在唯一的对称 正定矩阵，使得；（ii）若是阶实对称矩阵.则的特征值是实数证明(i)见16题.(ii)令 (1)那么 即 (2)用左乘(1)式两边, (3)用右乘(2)式两边,由(3)式,有由是正定矩阵,则.其中是对称正定矩阵,于
12、是那么所以27.(中科院2004)设为阵实对称矩阵,为维实向量.证明:的充分必要条件是其中表示的转置.证明 充分性因为 (1) (2)那么(2)的右端是正定的,于是正定必要性.由上面的(1)式,而正定,那么是正定矩阵.于是是正定矩阵,那么(2)式成立.所以.28.(武汉大学,2003)求实二次型的秩和正、负惯性指数.解 令是这个二次型的矩阵.则容易计算因此秩和正惯性指数都为.负惯性指数为0.29.(四川大学,1997).线性方程组有解.证明: 有唯一解为正定阵(表的转置阵).证明 必要性有唯一解,则那么于是是正定二次型,为正定阵.充分性为正定阵,则于是,线性方程组有唯一解30.(武汉大学,1991)设为阶实对称矩阵,分别为的最小和最大特征值,证明:对于实二次型恒有证明 阶实对称矩阵，那么存在正交线性替换于是，31.(武汉大学,1992)是正定矩阵,证明:证明 正定,则存在可逆矩阵正定,那么存在正交矩阵其中所以32.(华中科大,1998)正定实对称矩阵.为实反对称矩阵,试证:证明 先证明假定，则齐次线性方程组有非零解那么由是实反对称矩阵,那么与是正定矩阵矛盾,所以作上的连续函数仍是实反对称矩阵.于是33.(华东师大,1992)都是正定的,证明:(1)方程的根都大于零;(2)方程的所有根等于1证明
