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1、2006高等学校全国统一考试数学理试题（江西理）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则等于（）2已知复数满足，则等于（）3若，则不等式等价于（）或或或4设为坐标原点，为抛物经的焦点，为抛物线上一点，若，则点的坐标为（）5对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）6若不等式对一切成立，则的最小值为（）07已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于（）1001012002018在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，等于（）9为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（）678910
2、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为，甲、乙分在同一组概率为，则的值分别为（）ABECFOD11如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与分别截于如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别为，则必有（）6122010图(1)，的大小关系不能确定12某地一年内的气温（单位：）与时间（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10，令表示时间段的平均气温，与之间的函10数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）6122010A012266122010D6122010C第卷二、填空题：本大题共4小题，每小
3、题4分，共16分，请把答案填在答题卡上13数列的前项和为，则 ACPB14设的反函数为，若，则 15如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，是上一动点，则的最小值为 16已知圆，填线，下面四个命题A对任意实数和，直线和圆相切；B对任意实数和，直线和圆有公共点；C对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切；D对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知函数在与时都取得极值（1）求的值及函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围18（本小题满分12
4、分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元，现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额求（1）的分布列；（2）的数学期望19（本小题满分12分）如图，已知是边长为1的正三角形，分别是边上的点，线段经过的中心，设AMBDGNC（1）试将的面积（分别记为与）表示为的函数；（2）求的最大值与最小值20（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一侧面是正三角形（1）求证：；（2）求二面角的大小；AB
5、CD（3）在线段上是否存在一点，使与面成角？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由21（本小题满分12分）如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点（1）求点的轨迹的方程；（2）若在的方程中，令确定的值，使原点距椭圆的右准线最远此时，设与轴交点为，当直线绕点转动到什么位置时，三角形的面积最大？OPAFBDxy22（本小题满分14分）已知数列满足：，且（1）求数列的通项公式；（2）证明：对一切正整数，不等式恒成立2006高等学校全国统一考试数学理试题理（江西）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
6、目要求的。1、已知集合Mx|，Ny|y3x21，xR，则MN（ C ）A B. x|x1 C.x|x1 D. x| x1或x1或x0，Ny|y1故选C2、已知复数z满足（3i）z3i，则z（ D ）A B. C. D.解：故选D3、若a0，b0，则不等式ba等价于（ D ）Ax0或0x B.x C.x D.x解：故选D4、设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4则点A的坐标是（B ）A（2，2） B. (1，2) C.（1，2）D.(2，2)解：F（1，0）设A（，y0）则（ ，y0），（1，y0），由 4y02，故选B5、对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）
7、0，则必有（ C ）A f（0）f（2）2f（1）解：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，）上是增函数；当x0恒成立，故a0若0，即1a0，则应有f（）恒成立，故1a0综上，有a故选C7、已知等差数列an的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（ A ）A100 B. 101 C.200 D.201解：依题意，a1a2001，故选A8、在（x）2006 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x时，S等于（B ）A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009解：设（x）2006a0x2006a1x2005a2005xa20
8、06则当x时，有a0（）2006a1（）2005a2005（）a20060 （1）当x时，有a0（）2006a1（）2005a2005（）a200623009 （2）（1）（2）有a1（）2005a2005（）23009223008故选B9、P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x5）2y24和（x5）2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为（ D ）A. 6 B.7 C.8 D.9解：设双曲线的两个焦点分别是F1（5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）10
9、19故选B10、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ A ）A a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=解：a105甲、乙分在同一组的方法种数有（1） 若甲、乙分在3人组，有15种（2） 若甲、乙分在2人组，有10种，故共有25种，所以P故选A11、如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（
10、）A. S1S2C. S1=S2D. S1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD则VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故选C12、某地一年的气温Q（t）（单位：c）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10c，令G（t）表示时间段0,t的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ A ）10cG(t)10cG(t)G(t)10cttt1266O126
11、12OO图（1） BAD10cG(t)O612tCG(t)10c612tO 解：结合平均数的定义用排除法求解二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。13、数列的前n项和为Sn，则Sn13、解： 故14、设f（x）log3（x6）的反函数为f1（x），若f1（m）6f1（n）627则f（mn）_解：f1（x）3x6故f1（m）6f1（x）63m3n3m n27mn3f（mn）log3（36）215、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_解：连A1B，沿BC1将CB
12、C1展开与A1BC1在同一个平面内，如图所示，A1C1BC连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值。通过计算可得A1C1C90又BC1C45A1C1C135 由余弦定理可求得A1C16、已知圆M：（xcosq）2（ysinq）21，直线l：ykx，下面四个命题：（A） 对任意实数k与q，直线l和圆M相切；（B） 对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；（C） 对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）解：圆心坐标为（cosq，sinq）d故选（B）（D）三、解答题：本大题共6小题，共74
13、分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2） 若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。17、解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由f（），f（1）32ab0得a，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）与（1，）递减区间是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x1，2，当x时，f（x）c为极大值，而f（2）2
14、c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）f（2）2c解得c218、（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令x表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。求：（1）x的分布列 （2）x的的数学期望18、解：（1）x的所有可能的取值为0，10，20，50，60分布列为x010205060P(2)Ex3.319、（本小题满分12分）如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的
15、中心G，设MGAa（）（1） 试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数（2） 求y的最大值与最小值19、解：（1） 因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG，MAG，由正弦定理得则S1GMGAsina 同理可求得S2（2） y72（3cot2a）因为，所以当a或a时，y取得最大值ymax240当a时，y取得最小值ymin21620、（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD，BDCD1，另一个侧面是正三角形（1） 求证：ADBC（2） 求二面角BACD的大小（3） 在直线AC上是否存在一点E，使ED
16、与面BCD成30角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。20、解法一：（1） 方法一：作AH面BCD于H，连DH。ABBDHBBD，又AD，BD1ABBCAC BDDC又BDCD，则BHCD是正方形，则DHBCADBC方法二：取BC的中点O，连AO、DO则有AOBC，DOBC，BC面AODBCAD（2） 作BMAC于M，作MNAC交AD于N，则BMN就是二面角BACD的平面角，因为ABACBCM是AC的中点，且MNCD，则BM，MNCD，BNAD，由余弦定理可求得cosBMNBMNarccos（3） 设E是所求的点，作EFCH于F，连FD。则EFAH，EF面BCD，EDF就是ED与面BC
17、D所成的角，则EDF30。设EFx，易得AHHC1，则CFx，FD，tanEDF解得x，则CEx1故线段AC上存在E点，且CE1时，ED与面BCD成30角。解法二：此题也可用空间向量求解，解答略21、（本大题满分12分）如图，椭圆Q：（ab0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点（1） 求点P的轨迹H的方程（2） 在Q的方程中，令a21cosqsinq，b2sinq（0b0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1当AB不垂直x轴时，x1x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b
18、2x2a2y2b2cx0（3）2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2a2y2b2cx0（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x，原点距l的距离为，由于c2a2b2，a21cosqsinq，b2sinq（0q）则2sin（）当q时，上式达到最大值。此时a22，b21，c1，D（2，0），|DF|1设椭圆Q：上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积S|y1|y2|y1y2|设直线m的方程为xky1，代入中，得（2k2）y22ky10由韦达定理得y1y2，y1y2，4S2（y1y2）2（y1y2）24 y1y2令tk211，得4S2，当t1
19、，k0时取等号。因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。22、（本大题满分14分）已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an2n！22、解：（1）将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n1）1（2）证：据1得，a1a2an为证a1a2an2显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nN*，有1（）3用数学归纳法证明3式：（i） n1时，3式显然成立，（ii） 设nk时，3式成立，即1（）则当nk1时，1（）（）1（）（）1（）即当nk1时，3式也成立。故对一切nN*，3式都成立。利用3得，1（）11故2式成立，从而结论成立。6
