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1、2017高考二轮专题复习：极坐标与参数方程1极坐标的基本概念极坐标(，)的含义：设M是平面上任一点，表示OM的长度，表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角那么，有序数对(，)称为点M的极坐标显然，每一个有序实数对(，)，决定一个点的位置其中称为点M的极径，称为点M的极角极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(，)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的（极角相差的正数倍）2极坐标与直角坐标的互化若极点在原点且极轴为x轴的正半轴，则平面内任意一点M的极坐标M(，)化为平面直角
2、坐标M(x，y)的公式如下：或者，tan ，其中要结合点所在的象限确定角的值，一般取.3常见曲线的参数方程(1)过定点P(x0，y0)，倾斜角为的直线：(t为参数)，其中参数t是以定点P(x0，y0)为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离根据t的几何意义，有以下结论：设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则|AB|tBtA|；线段AB的中点所对应的参数值等于.(2)中心在P(x0，y0)，半径等于r的圆：(为参数)(3)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆：(为参数).4参数方程化为普通方程由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消
3、参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制高考热点突破 （掌握极坐标方程与直角坐标方程；参数方程与普通方程；极坐标方程与参数方程之间的互化是前提）例：在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（），写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程.突破点1：求交点坐标(2013全国1卷)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的
4、极坐标(0,02)解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160得28cos 10sin 160.所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程为x2y22y0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.相关练习：1.在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为参数）,以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。（I）求圆C的极坐标方程；（II）射线OM：与圆C的交点O、P两点，求P点的极坐标。解：()圆C的参数方程化为普通方程是即又，于是，又不满足要求所以圆C的极坐标方程是()因为射线的
5、普通方程为联立方程组消去并整得解得或，所以P点的直角坐标为所以P点的极坐标为解法2：把代入得 所以P点的极坐标为 2.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：。（1）直线的参数方程化为极坐标方程； （2）求直线的曲线交点的极坐标（）解析：（1）将直线（为参数）消去参数，化为普通方程，2分将代入得.4分（2）方法一：的普通方程为.6分由解得：或8分所以与交点的极坐标分别为： ，.10分方法二：由，6分得：，又因为8分所以或所以与交点的极坐标分别为： ，.10分突破点2：求方程真题试做：(2010全国1卷) 已知直线C1（t为
6、参数），C2（为参数），（）当=时，求C1与C2的交点坐标； （）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。相关练习：1.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，圆C和直线的极坐标方程分别为=2cos，cos（+）=2（其中tan=2，（0，）（）求圆C和直线的直角坐标方程；（）设圆C和直线相交于点A和点B，求以AB为直径的圆D的参数方程解析：（）圆C的极坐标方程分别为=2cos，转化成直角坐标方程为：（x1）2+y2=1，由于：tan=2，（0，）则：，极坐标方程cos（+）=2转化成直角坐标方程为：x2
7、y2=0（）由（）得：解得：A（2，0），B（，），则：，设点M（x，y）是圆D上的任意一点，则：所以：+整理得：5x2+5y212x+4y=0转化成标准形式为：转化成参数方程为：（为参数）2.将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.（）设为圆上的点，经变换为C上点（x，y），依题意，得 由 得，即曲线C的方程为.，故C得参数方程为 （t为参数）.()由解得：，或.不妨设,则线段的中点坐标为,所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，化为
8、极坐标方程，并整理得，即突破点3：长度与面积问题真题试做： (2011全国1卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2()求C2的方程 ()在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.(2015全国1卷) 在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求的极坐标方程. （II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.相关练习：1.在直角坐标系中，半圆C的参数方程为（为参数，），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求
9、C的极坐标方程；（）直线的极坐标方程是，射线OM：与半圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长解：（）半圆C的普通方程为，又，所以半圆C的极坐标方程是 （5分）（）设为点P的极坐标，则有 ，解得，设为点Q的极坐标，则有 解得，由于，所以，所以PQ的长为4 （10分） 2.已知点Q(2，0)和点 线段PQ的中点为M. ( I)求点M的轨迹的参数方程； ()设点P的轨迹与点M的轨迹交于A，B两点，求QAB的面积(2)，-得公共弦所在直线方程为突破点4：最值问题真题试做：（2014全国卷）已知曲线：，直线：（为 参数）.()写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（）过曲线上任一点作与夹角为
10、的直线，交于点，求的最大值与最小值. 相关练习1.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线和圆交于两点，是圆上不同于的任意一点.（1）求圆心的极坐标； （2）求面积的最大值.解：()圆的普通方程为，即所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为；()直线的普通方程：，圆心到直线的距离，所以点直线距离的最大值为2.已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为.（）写出点的直角坐标及曲线的普通方程；（）若为上的动点，求中点到直线(为参数）距离的最小值.3.在平面直角坐标系中，以坐标原点为
11、极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.（）求曲线的直角坐标方程；（）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标.解：（）解：由，可得因为，所以曲线的普通方程为（或） （）解法一：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为 5分因为曲线：是以为圆心，1为半径的圆，设点，且点到直线：的距离最短，所以曲线在点处的切线与直线：平行即直线与的斜率的乘积等于，即7分因为，解得或所以点的坐标为或9分由于点到直线的距离最短，所以点的坐标为10分（2）解：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，因为点在
12、曲线上，所以可设点所以点到直线的距离为因为，所以当时，此时，所以点的坐标为4(2015山西四校联考)在极坐标系中，曲线C的方程为2，点R(2，)(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标解：(1)xcos，ysin，曲线C的直角坐标方程为y21，点R的直角坐标为R(2,2)(2)设P(cos，sin)，根据题意可得|PQ|2cos，|QR|2sin， |PQ|QR|42sin()，当时，|PQ
13、|QR|取最小值2.矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为(，)5.在极坐标系内，已知曲线的方程为，以极点为原点，极轴方向为轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；设点为曲线上的动点，过点作曲线的两条切线，求这两条切线所成角余弦的最小值解：对于曲线的方程为可化为直角坐标方程，即对于曲线的参数方程为（为参数）可化为普通方程过圆心点作直线的垂线，此时两切线成角最大，即余弦值最小则由点到直线的距离公式可知，则，因此因此两条切线所成角的余弦值的最小值是突破点6：范围问题(2012全国1卷) 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为（1）求点的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围。相关练习：以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（为参数）.（1）曲线在点处的切线为，求的极坐标方程；（2）点的极坐标为，且当参数时，过点的直线与曲线有两个不同的交点，试求直线的斜率的取值范围.（）
