焦半径公式

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1、如图,F为圆锥曲线的焦点,l为相应于焦点F的圆锥曲线的准线,过点F作准线l的垂线,垂足为k,令,M为圆锥曲线上任意一点,于N,于H,设,依圆锥曲线的统一定义有,又,代入(1)有,。若直线MF交圆锥曲线于另一点,同理可证,由此还可推出过焦点F的弦长为,两焦半径的比为。例1:过抛物线的焦点F,作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p、q,则。例2:已知椭圆长轴长为6,焦距为,过椭圆的左焦点作直线交椭圆于M、N两点,设,当时,等于椭圆短轴长。例3:过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若实数使得的直线l恰有3条,则 4 。例4:过椭圆的一个焦点作一条与长轴夹角为的弦AB,若

2、恰好等于焦点到准线距离的2倍,则此椭圆的离心率为。例5:、分别是椭圆的左、右焦点,过作倾斜角为的直线与椭圆交于P、Q两点,求的面积。解:首先求出边PQ的长度,它是过焦点的弦,其倾斜角,故,而到直线PQ的距离为,所以的面积为。例6:过椭圆的右焦点作直线l交椭圆于A、B两点,若,则左焦点到直线l的距离d为。例7:过双曲线的右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点,若,则双曲线的方程为。解:设直线PQ的倾斜角为,则,又设直线PQ的方程为,即,化简得,将直线方程代入双曲线方程,整理得,将上述方程的根与系数的关系代入化简整理得,由弦长公式得,将代入化简,即得,从而,故所求双曲线方程为。例8:设椭圆的两个焦点分别为、,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为。例9:设椭圆的右焦点为,右准线为,若过且垂直于x轴的弦长等于到的距离,则椭圆的离心率是。例10:设抛物线的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行于x轴,证明直线AC经过原点O。证明:如图,连AC,设交EF于,设,AB与x轴所成角为,由推论,过点A作ADEFBC,有,故,代入,整理得,为EF中点,即AB过原点O。

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