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1、如图，F为圆锥曲线的焦点，l为相应于焦点F的圆锥曲线的准线，过点F作准线l的垂线，垂足为k，令，M为圆锥曲线上任意一点，于N，于H，设，依圆锥曲线的统一定义有，又，代入(1)有，。若直线MF交圆锥曲线于另一点，同理可证，由此还可推出过焦点F的弦长为，两焦半径的比为。例1：过抛物线的焦点F，作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则。例2：已知椭圆长轴长为6，焦距为，过椭圆的左焦点作直线交椭圆于M、N两点，设，当时，等于椭圆短轴长。例3：过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得的直线l恰有3条，则 4 。例4：过椭圆的一个焦点作一条与长轴夹角为的弦AB，若
2、恰好等于焦点到准线距离的2倍，则此椭圆的离心率为。例5：、分别是椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线与椭圆交于P、Q两点，求的面积。解：首先求出边PQ的长度，它是过焦点的弦，其倾斜角，故，而到直线PQ的距离为，所以的面积为。例6：过椭圆的右焦点作直线l交椭圆于A、B两点，若，则左焦点到直线l的距离d为。例7：过双曲线的右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若，则双曲线的方程为。解：设直线PQ的倾斜角为，则，又设直线PQ的方程为，即，化简得，将直线方程代入双曲线方程，整理得，将上述方程的根与系数的关系代入化简整理得，由弦长公式得，将代入化简，即得，从而，故所求双曲线方程为。例8：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。例9：设椭圆的右焦点为，右准线为，若过且垂直于x轴的弦长等于到的距离，则椭圆的离心率是。例10：设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC平行于x轴，证明直线AC经过原点O。证明：如图，连AC，设交EF于，设，AB与x轴所成角为，由推论，过点A作ADEFBC，有，故，代入，整理得，为EF中点，即AB过原点O。
